Subgroups — #27484704

Order 13568.

726 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283093	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276048	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20276043	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275689	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275483	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20274881	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810529	—	2	1	no	—
16	#16810529	—	2	1	no	—
17	#16810529	—	2	1	no	—
18	#16810529	—	2	1	no	—
19	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#391	—	2	1	no	—
27	C₅₃×#389	—	2	1	no	—
28	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133217	—	4	2	no	—
37	#13133217	—	4	2	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133150	—	4	4	no	—
43	#13133148	—	4	4	no	—
44	C₄⋊#88322	Q₈	1	8	yes	complemented
45	#13133128	—	2	4	no	—
46	#13133124	—	2	2	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	#13133124	—	2	2	no	—
50	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
51	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
53	C₄×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
105	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×#88322	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
114	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
151	#88322	—	2	8	no	—
152	#29211	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	Q₈²	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	8	2	no	—
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	#2862	—	53	1	no	—
173	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	#2058	—	53	2	no	—
175	#2057	—	53	2	no	—
176	#1993	—	53	2	no	—
177	#1949	—	53	4	no	—
178	#1847	—	53	2	no	—
179	#1767	—	53	1	no	—
180	C₂×C₅₃	#2567	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3077	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3078	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#3162	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#3165	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#3213	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3215	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
188	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
189	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×#107	—	53	4	no	—
192	C₂×#106	—	53	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
194	C₂×#97	—	53	2	no	—
195	#391	—	2	1	no	—
196	#391	—	106	1	no	—
197	#391	—	106	1	no	—
198	#391	—	106	1	no	—
199	#391	—	106	1	no	—
200	#389	—	2	1	no	—
201	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
202	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#382	—	53	2	no	—
204	#382	—	53	2	no	—
205	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
206	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#340	—	53	4	no	—
209	#340	—	53	4	no	—
210	#336	—	53	2	no	—
211	C₅₃	#29211	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
214	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
215	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
216	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
217	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
218	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
219	C₄⋊Q₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
220	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	#107	—	212	4	no	—
240	#106	—	212	4	no	—
241	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
242	#97	—	106	4	no	—
243	#95	—	2	2	no	—
244	#95	—	2	2	no	—
245	#95	—	106	2	no	—
246	#95	—	106	2	no	—
247	#95	—	106	2	no	—
248	#95	—	106	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	—	53	8	no	—
270	C₂×C₈	—	106	4	no	—
271	C₂×C₈	—	106	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
282	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	2	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	4	1	no	—
288	C₄²	—	4	4	no	—
289	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
290	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
291	C₄²	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	8	no	—
294	Q₈	—	424	4	no	—
295	Q₈	—	424	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	212	2	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#13133243	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133248	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
330	C₈	—	106	8	no	—
331	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂×#13133243	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	424	2	no	—
347	C₄	—	424	2	no	—
348	C₄	#16811333	1	2	yes	—
349	C₄	Q₈×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
350	C₂	#20279920	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20284512	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20284520	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#20285237	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20285257	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20285698	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20285714	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29211
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
44. C₄⋊#88322	Q₈	semidirect
52. C₄⋊Q₈×C₅₃	Q₈	semidirect
211. C₅₃	#29211	semidirect
219. C₄⋊Q₈	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283093	2
#20276048	2
#20276043	2
#20275689	2
#20275483	2
#20274881	2
#20274568	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#29211	53