Subgroups — #27484712

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283078	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276053	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20275689	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275478	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275473	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274881	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810521	—	2	1	no	—
15	#16810521	—	2	1	no	—
16	#16810521	—	2	1	no	—
17	#16810521	—	2	1	no	—
18	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#391	—	2	1	no	—
27	C₅₃×#389	—	2	1	no	—
28	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133209	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
43	#13133150	—	4	4	no	—
44	#13133148	—	4	4	no	—
45	C₄⋊#88322	Q₈	1	8	yes	complemented
46	#13133128	—	2	4	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
50	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₄⋊Q₈×C₅₃	Q₈	1	4	yes	—
52	C₄×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
98	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
99	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	#11719919	—	4	4	no	—
107	#11719919	—	4	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	8	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	#88322	—	2	8	no	—
148	#29212	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
162	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₄×C₅₃	#501	1	4	yes	—
164	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
165	C₄×C₅₃	Q₈²	1	2	yes	—
166	Dic₅₃	—	8	2	no	—
167	Dic₅₃	—	8	2	no	—
168	#2859	—	53	1	no	—
169	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
170	#2059	—	53	4	no	—
171	#1993	—	53	2	no	—
172	#1948	—	53	2	no	—
173	#1947	—	53	2	no	—
174	#1847	—	53	2	no	—
175	#1767	—	53	1	no	—
176	C₂×C₅₃	#2567	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	#3077	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3078	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×#501	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#3166	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3214	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3216	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#125	—	53	2	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
186	C₂×#107	—	53	4	no	—
187	C₂×#106	—	53	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
189	C₂×#97	—	53	2	no	—
190	#391	—	2	1	no	—
191	#389	—	2	1	no	—
192	#389	—	106	1	no	—
193	#389	—	106	1	no	—
194	#389	—	106	1	no	—
195	#389	—	106	1	no	—
196	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	#384	—	53	1	no	—
198	#384	—	53	1	no	—
199	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	#382	—	53	2	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
202	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#340	—	53	4	no	—
205	#340	—	53	4	no	—
206	#336	—	53	2	no	—
207	C₅₃	#29212	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
208	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
210	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
211	C₄⋊Q₈	Dic₁₀₆	1	4	yes	—
212	#125	—	212	4	no	—
213	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
227	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#107	—	212	4	no	—
237	#106	—	212	4	no	—
238	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
239	#97	—	106	4	no	—
240	#95	—	2	2	no	—
241	#95	—	2	2	no	—
242	#95	—	106	2	no	—
243	#95	—	106	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	—	53	8	no	—
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
276	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₄²	—	4	4	no	—
283	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
284	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
285	C₄²	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	212	2	no	—
307	C₂×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂×C₄	—	212	2	no	—
309	C₂×C₄	—	212	2	no	—
310	C₂×C₄	—	212	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	2	no	—
312	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#13133196	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#13133243	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#13133248	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
322	C₈	—	106	8	no	—
323	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×#13133243	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	1	no	—
334	C₄	—	4	1	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	8	2	no	—
337	C₄	—	424	2	no	—
338	C₄	—	424	2	no	—
339	C₄	#16811029	1	4	yes	—
340	C₄	#16811333	1	2	yes	—
341	C₄	Q₈×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
342	C₂	#20279920	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20284512	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#20284520	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#16811029	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20285268	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#20285706	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20285722	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29212
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
45. C₄⋊#88322	Q₈	semidirect
207. C₅₃	#29212	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283078	2
#20276053	2
#20275689	2
#20275478	2
#20275473	2
#20274881	2
#20274568	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#29212	53