Subgroups — #27484783

Order 13568.

778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₄×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276274	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20275676	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275666	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20274843	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#13133217	—	2	1	no	—
9	C₂×#13133217	—	2	1	no	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
13	#16810529	—	2	1	no	—
14	#16810521	—	2	1	no	—
15	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810493	—	2	1	no	—
17	#16810493	—	2	1	no	—
18	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
21	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
22	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
24	#16810386	C₂²	1	8	yes	—
25	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
31	#13133217	—	2	2	no	—
32	#13133217	—	2	8	no	—
33	#13133217	—	4	4	no	—
34	#13133217	—	4	4	no	—
35	#13133217	Q₈	1	4	yes	complemented
36	C₄×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133124	—	2	2	no	—
51	#13133124	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
73	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
74	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
75	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
76	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
78	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	D₈	1	4	yes	—
85	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
86	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
89	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
90	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	#11719919	—	4	4	no	—
102	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
136	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
138	#29219	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×C₅₃	#474	1	4	yes	—
150	C₄×C₅₃	#475	1	4	yes	—
151	C₄×C₅₃	#486	1	4	yes	—
152	C₄×C₅₃	#556	1	2	yes	—
153	C₄×C₅₃	#557	1	2	yes	—
154	Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	Dic₅₃	—	8	4	no	—
156	Dic₅₃	—	8	2	no	—
157	#2868	—	53	1	no	—
158	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
159	#2099	—	53	4	no	—
160	#1990	—	53	2	no	—
161	#1988	—	53	4	no	—
162	#1834	—	53	2	no	—
163	C₄×C₄⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	#2568	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂×#475	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#3226	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#3229	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
172	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
173	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
174	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
175	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	#391	—	106	1	no	—
179	#389	—	53	2	no	—
180	#389	—	106	1	no	—
181	#384	—	53	1	no	—
182	#384	—	53	2	no	—
183	#384	—	53	2	no	—
184	#384	—	106	1	no	—
185	#384	—	106	1	no	—
186	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
187	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
188	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	#340	—	53	8	no	—
190	#340	—	53	8	no	—
191	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₅₃	#29219	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
194	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
195	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
196	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
197	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
198	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
199	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
200	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
201	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
214	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
215	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
223	C₄×C₈	—	2	4	no	—
224	#95	—	106	2	no	—
225	#95	—	106	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
249	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
258	C₄²	—	2	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	212	4	no	—
262	C₄²	#11719913	1	4	yes	—
263	C₄²	D₄₂₄	1	4	yes	—
264	C₄²	#11719945	1	4	yes	—
265	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
266	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
268	Q₈	—	424	8	no	—
269	Q₈	—	212	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂×C₄	—	212	2	no	—
278	C₂×C₄	—	212	4	no	—
279	C₂×C₄	—	212	4	no	—
280	C₂×C₄	—	212	4	no	—
281	C₂×C₄	—	212	2	no	—
282	C₂×C₄	—	212	2	no	—
283	C₂×C₄	—	212	2	no	—
284	C₂×C₄	—	212	2	no	—
285	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#13133197	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#11719913	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
301	C₈	—	4	4	no	—
302	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
304	C₂²	#16811199	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	C₂²×#11719913	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×#13133250	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#13133250	1	1	yes	characteristic
309	C₄	—	2	2	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	424	4	no	—
313	C₄	—	424	2	no	—
314	C₄	—	212	4	no	—
315	C₄	#16810904	1	4	yes	—
316	C₄	#16810909	1	4	yes	—
317	C₄	#16810970	1	4	yes	—
318	C₄	#16811343	1	2	yes	—
319	C₄	#16811351	1	2	yes	—
320	C₂	#20279930	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#16810904	1	1	yes	characteristic
322	C₂	C₂×#16810909	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#16810970	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#20285096	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#20285838	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20285861	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×C₄⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29219
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
35. #13133217	Q₈	semidirect
192. C₅₃	#29219	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283113	2
C₄×#13133217	2
#20276274	2
#20275676	2
#20275666	2
#20274843	2
C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	2
#29219	53