Subgroups — #27484804

Order 13568.

654 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 276 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283093	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276283	C₂	1	4	yes	maximal
3	#20275681	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275667	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275663	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274845	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×#125×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810529	—	2	2	no	—
14	#16810529	—	2	2	no	—
15	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133217	—	2	4	no	—
33	#13133217	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
38	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
39	C₄×#88322	—	2	4	no	—
40	#13133124	—	2	4	no	—
41	#13133124	—	2	4	no	—
42	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
43	#125×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
55	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
56	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
67	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
68	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
69	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
70	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
75	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
79	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
80	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
81	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
82	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
85	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×#88322	—	2	4	no	—
87	C₂×#88322	—	2	4	no	—
88	C₂×#88322	—	2	4	no	—
89	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
109	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
110	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
114	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
115	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
116	#88322	—	4	4	no	—
117	#29222	—	53	1	no	maximal, Sylow
118	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
122	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
123	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
126	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
128	C₄×C₅₃	#488	1	4	yes	—
129	C₄×C₅₃	#556	1	2	yes	—
130	C₄×C₅₃	#557	1	2	yes	—
131	Dic₅₃	—	8	2	no	—
132	Dic₅₃	—	8	2	no	—
133	#2862	—	53	1	no	—
134	C₄×#125	D₅₃	1	1	yes	characteristic
135	#2101	—	53	4	no	—
136	#1991	—	53	2	no	—
137	#1988	—	53	2	no	—
138	#1987	—	53	2	no	—
139	#1835	—	53	2	no	—
140	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
141	C₂×C₅₃	#2568	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₅₃	#3076	1	2	yes	—
143	C₂×C₅₃	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₅₃	#3233	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
147	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
148	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
150	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
151	#391	—	106	2	no	—
152	#391	—	106	2	no	—
153	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
154	#387	—	2	2	no	—
155	#382	—	53	2	no	—
156	#382	—	53	2	no	—
157	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
158	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
160	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
161	#340	—	53	4	no	—
162	#340	—	53	4	no	—
163	#340	—	53	4	no	—
164	#340	—	53	4	no	—
165	#336	—	53	2	no	—
166	C₅₃	#29222	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
167	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
168	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
169	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
172	#125	—	2	2	no	—
173	#125	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
189	C₄×C₈	—	106	4	no	—
190	#95	—	2	2	no	—
191	#95	—	2	2	no	—
192	#95	—	2	2	no	—
193	#95	—	106	4	no	—
194	#95	—	106	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
203	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₈	—	106	4	no	—
209	C₂×C₈	—	106	4	no	—
210	C₂×C₈	—	106	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
217	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
219	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
220	C₄²	—	2	4	no	—
221	C₄²	—	2	2	no	—
222	C₄²	—	4	2	no	—
223	C₄²	—	4	4	no	—
224	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
225	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
226	C₄²	#11719949	1	4	yes	—
227	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	Q₈	—	424	4	no	—
229	Q₈	—	424	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂×C₄	—	212	2	no	—
243	C₂×C₄	—	212	2	no	—
244	C₂×C₄	—	212	4	no	—
245	C₂×C₄	—	212	4	no	—
246	C₂×C₄	#13133196	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
248	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	#13133237	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
254	C₈	—	212	4	no	—
255	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
256	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
257	C₂²	#16811194	1	1	yes	characteristic
258	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
259	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
260	C₄	—	2	4	no	—
261	C₄	—	2	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	—	4	2	no	—
264	C₄	—	8	2	no	—
265	C₄	—	424	2	no	—
266	C₄	—	424	2	no	—
267	C₄	#16810980	1	4	yes	—
268	C₄	#16811346	1	2	yes	—
269	C₄	#16811352	1	2	yes	—
270	C₂	#20279927	1	1	yes	characteristic
271	C₂	#20284503	1	2	yes	—
272	C₂	C₂×#16810980	1	1	yes	characteristic
273	C₂	#20285104	1	1	yes	characteristic
274	C₂	#20285890	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#125×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×#125	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29222
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
43. #125×C₅₃	Q₈	semidirect
166. C₅₃	#29222	semidirect
173. #125	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283093	2
#20276283	2
#20275681	2
#20275667	2
#20275663	2
#20274845	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₄×#125×C₅₃	2
#29222	53