Subgroups — #27489710

Order 13568.

2014 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810773	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275949	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275802	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274645	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₅₃×#2855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	1	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	—	2	1	no	—
10	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#11719924	C₂²	1	4	yes	complemented
12	C₂×#13133214	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133214	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810773	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#385	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#381	—	2	1	no	—
27	C₅₃×#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×D₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	4	4	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	—	4	4	no	—
39	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
42	C₂×#11719924	—	4	8	no	—
43	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
44	#13133214	—	2	16	no	—
45	#13133214	—	2	16	no	—
46	#13133137	—	2	8	no	—
47	#13133137	—	4	8	no	—
48	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	#95×C₅₃	—	2	1	no	—
64	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
66	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	4	8	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
73	C₂³×D₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	complemented
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	32	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	32	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
105	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
114	#11719924	—	4	16	no	—
115	C₂×#88322	—	2	4	no	—
116	C₂×#88322	—	2	8	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
121	C₂³×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	8	16	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
154	D₂₁₂	—	2	8	no	—
155	D₂₁₂	—	2	8	no	—
156	D₂₁₂	—	4	16	no	—
157	D₂₁₂	—	4	32	no	—
158	D₂₁₂	—	4	32	no	—
159	D₂₁₂	—	4	8	no	—
160	#88322	—	4	4	no	—
161	#29625	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	#450	1	4	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	32	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
178	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
180	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
181	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
184	C₄×C₅₃	#534	1	4	yes	—
185	C₂²×#127	—	53	1	no	—
186	C₂×#450	—	53	2	no	—
187	#2855	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
188	#2041	—	53	4	no	—
189	#2014	—	53	4	no	—
190	#1817	—	53	1	no	—
191	#1786	—	53	2	no	—
192	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
193	C₂×C₅₃	#2613	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3003	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3208	1	2	yes	—
197	C₂×C₅₃	#3217	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	8	8	no	—
199	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
200	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
201	C₂³×D₄	—	106	1	no	—
202	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
203	C₂×#127	—	53	4	no	—
204	C₂×#127	—	106	8	no	—
205	C₂×#127	—	106	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#450	—	106	8	no	—
209	C₂×#102	—	53	4	no	—
210	C₂×#102	—	53	8	no	—
211	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
212	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
213	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
214	#387	—	2	2	no	—
215	#385	—	2	1	no	—
216	#381	—	2	1	no	—
217	#380	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#336	—	53	4	no	—
219	C₅₃	#29625	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
220	C₂⁵	—	106	2	no	—
221	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
223	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
224	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
225	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
226	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
227	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
230	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
231	C₂²×D₄	—	212	4	no	—
232	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
233	C₂²×D₄	—	212	4	no	—
234	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
238	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
239	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
240	#127	—	106	16	no	—
241	#127	—	106	16	no	—
242	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	#102	—	106	8	no	—
253	#102	—	212	8	no	—
254	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
255	#95	—	2	1	no	—
256	#95	—	2	2	no	—
257	#95	—	2	2	no	—
258	#95	—	2	2	no	—
259	C₂⁴	—	106	8	no	—
260	C₂⁴	—	106	4	no	—
261	C₂⁴	—	212	8	no	—
262	C₂⁴	—	212	8	no	—
263	C₂⁴	—	212	4	no	—
264	C₂⁴	—	212	4	no	—
265	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	53	8	no	—
269	C₂×D₄	—	106	16	no	—
270	C₂×D₄	—	106	16	no	—
271	C₂×D₄	—	106	8	no	—
272	C₂×D₄	—	106	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	8	no	—
274	C₂×D₄	—	106	8	no	—
275	C₂×D₄	—	212	16	no	—
276	C₂×D₄	—	212	32	no	—
277	C₂×D₄	—	212	32	no	—
278	C₂×D₄	—	212	8	no	—
279	C₂×D₄	—	212	8	no	—
280	C₂×D₄	—	212	8	no	—
281	C₂×D₄	—	212	16	no	—
282	C₂×D₄	—	212	8	no	—
283	C₂×D₄	—	212	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	#11719924	1	4	yes	complemented
293	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	SD₁₆	—	212	16	no	—
299	C₂×C₈	—	106	4	no	—
300	C₂×C₈	—	106	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	2	4	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	106	8	no	—
312	C₂³	—	424	16	no	—
313	C₂³	—	424	16	no	—
314	C₂³	—	212	16	no	—
315	C₂³	—	212	16	no	—
316	C₂³	—	212	16	no	—
317	C₂³	—	212	4	no	—
318	C₂³	—	212	4	no	—
319	C₂³	—	212	8	no	—
320	C₂³	—	212	8	no	—
321	C₂³	#13133185	1	2	yes	—
322	C₂³	C₂×#11719924	1	2	yes	—
323	C₂³	#13133242	1	2	yes	—
324	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	D₄	—	106	8	no	—
327	D₄	—	106	8	no	—
328	D₄	—	212	32	no	—
329	D₄	—	212	16	no	—
330	D₄	—	212	32	no	—
331	D₄	—	212	8	no	—
332	C₂×C₄	—	2	8	no	—
333	C₂×C₄	—	2	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	8	no	—
340	C₂×C₄	—	4	1	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	2	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#13133263	1	4	yes	—
352	C₈	—	212	4	no	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	424	32	no	—
358	C₂²	—	424	8	no	—
359	C₂²	—	424	8	no	—
360	C₂²	—	212	8	no	—
361	C₂²	—	212	8	no	—
362	C₂²	—	212	8	no	—
363	C₂²	#16810773	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811187	1	2	yes	—
366	C₂²	C₂²×#11719924	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	C₂×#13133242	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	2	2	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	8	1	no	—
374	C₄	—	8	1	no	—
375	C₄	#16811184	1	4	yes	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	424	8	no	—
378	C₂	#20280431	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#16810773	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20283941	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#20285653	1	2	yes	—
382	C₂	#20285730	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2855	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#13133214	C₂
hypercenter	#2855	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29625
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2855

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810773	C₂	semidirect
3. #20275949	C₂	semidirect
4. #20275802	C₂	semidirect
5. #20274783	C₂	semidirect
6. #20274645	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2855	C₂	semidirect
11. C₂²×#11719924	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
17. C₂×#13133137	C₂²	semidirect
19. #16810378	C₂²	semidirect
22. C₅₃×#391	C₂²	semidirect
23. C₅₃×#389	C₂²	semidirect
84. C₂²×C₄×C₅₃	SD₁₆	semidirect
187. #2855	D₅₃	semidirect
212. #391	C₂×D₅₃	semidirect
213. #389	C₂×D₅₃	semidirect
219. C₅₃	#29625	semidirect
292. C₂²×C₄	#11719924	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133214	2
C₂×#16810773	2
#20275949	2
#20275802	2
#20274783	2
#20274645	2
C₅₃×#2855	2
#29625	53