Subgroups — #27489722

Order 13568.

1326 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810779	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20283054	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275958	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274650	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂²×#11719925	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#13133196	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16810779	—	2	8	no	—
11	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
16	#16810507	—	2	2	no	—
17	#16810496	—	2	1	no	—
18	#16810486	—	2	1	no	—
19	#16810483	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
26	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
30	C₂×#11719925	—	4	8	no	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133196	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
36	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	#13133141	—	2	8	no	—
40	#13133141	—	4	8	no	—
41	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
42	#13133124	—	2	2	no	—
43	#13133124	—	2	1	no	—
44	#13133124	—	2	2	no	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
50	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
56	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	Q₁₆	1	4	yes	complemented
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
98	#11719925	—	4	16	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
101	#11719919	—	4	2	no	—
102	#11719919	—	4	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	2	8	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	#120	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	#137	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
111	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
112	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
113	Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
114	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
139	#88322	—	4	4	no	—
140	#29627	—	53	1	no	maximal, Sylow
141	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	#451	1	4	yes	—
146	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	#535	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
151	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
155	C₄×C₅₃	#534	1	4	yes	—
156	Dic₅₃	—	8	1	no	—
157	Dic₅₃	—	8	2	no	—
158	Dic₅₃	—	8	1	no	—
159	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	C₂×#451	—	53	2	no	—
161	#2855	—	53	1	no	—
162	#2043	—	53	4	no	—
163	#2016	—	53	4	no	—
164	#1817	—	53	1	no	—
165	#1787	—	53	2	no	—
166	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂×C₅₃	#2613	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	C₂×#451	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#3004	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#3209	1	2	yes	—
171	C₂×C₅₃	#3218	1	2	yes	—
172	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
174	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
177	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	1	no	—
178	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#451	—	106	8	no	—
182	C₂×#103	—	53	4	no	—
183	C₂×#103	—	53	8	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
185	#391	—	53	2	no	—
186	#389	—	53	2	no	—
187	#387	—	106	2	no	—
188	#385	—	106	1	no	—
189	#381	—	106	1	no	—
190	#380	—	53	1	no	—
191	#336	—	53	4	no	—
192	C₅₃	#29627	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
193	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
196	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
197	C₂²×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
198	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
199	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
204	C₂×Q₁₆	—	212	8	no	—
205	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
206	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
207	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
208	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
222	#103	—	106	8	no	—
223	#103	—	212	8	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
225	#95	—	106	1	no	—
226	#95	—	106	2	no	—
227	#95	—	106	2	no	—
228	#95	—	106	2	no	—
229	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
239	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
248	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
251	C₂²×C₄	#11719925	1	4	yes	complemented
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	212	16	no	—
258	C₂×C₈	—	106	4	no	—
259	C₂×C₈	—	106	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
262	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	#13133186	1	2	yes	—
273	C₂³	C₂×#11719925	1	2	yes	—
274	C₂³	#13133248	1	2	yes	—
275	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	2	8	no	—
277	Q₈	—	2	8	no	—
278	Q₈	—	4	16	no	—
279	Q₈	—	4	8	no	—
280	Q₈	—	212	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	16	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	212	1	no	—
293	C₂×C₄	—	212	1	no	—
294	C₂×C₄	—	212	2	no	—
295	C₂×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	2	no	—
297	C₂×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133262	1	4	yes	—
304	C₈	—	212	4	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	#16810779	1	4	yes	—
310	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#16811190	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂²×#11719925	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	4	8	no	—
319	C₄	—	424	1	no	—
320	C₄	—	424	2	no	—
321	C₄	—	424	1	no	—
322	C₄	#16811182	1	4	yes	—
323	C₂	—	2	4	no	—
324	C₂	#20280427	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#16810779	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20283949	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#20285663	1	2	yes	—
328	C₂	#20285742	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29627
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20275958	C₂	semidirect
4. #20275815	C₂	semidirect
81. C₂²×C₄×C₅₃	Q₁₆	semidirect
192. C₅₃	#29627	semidirect
251. C₂²×C₄	#11719925	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810779	2
#20283054	2
#20275958	2
#20275815	2
#20274783	2
#20274650	2
C₂²×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#29627	53