Subgroups — #27491527

Order 13568.

884 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283359	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275970	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275821	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274852	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#3038	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133242	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#11719922	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16810999	—	2	2	no	—
14	#16810999	—	2	2	no	—
15	#16810823	—	2	2	no	—
16	#16810818	—	2	2	no	—
17	#16810684	—	2	2	no	—
18	#16810676	—	2	2	no	—
19	#16810650	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810627	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133134	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810590	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810387	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×AGL(1,ℤ/8)×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#460	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#459	—	2	2	no	—
33	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#418	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133242	—	4	4	no	—
38	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
39	C₂×#11719922	—	2	8	no	—
40	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
42	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133214	—	2	2	no	—
47	#13133214	—	2	1	no	—
48	#13133214	—	2	1	no	—
49	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
50	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
51	#13133137	—	2	4	no	—
52	#13133134	—	4	4	no	—
53	#13133133	—	4	4	no	—
54	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
55	#13133128	—	2	1	no	—
56	C₄×#88322	—	2	1	no	—
57	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
58	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	AGL(1,ℤ/8)×C₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
67	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
68	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
69	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
70	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
72	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
73	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#102×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
80	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
103	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
104	D₈×C₅₃	—	4	4	no	—
105	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	#11719924	—	4	4	no	—
117	#11719922	—	4	16	no	—
118	#11719922	—	4	4	no	—
119	#11719917	—	2	2	no	—
120	#11719917	—	2	2	no	—
121	#11719917	—	2	4	no	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
135	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
137	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
144	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
156	D₂₁₂	—	4	2	no	—
157	D₂₁₂	—	4	4	no	—
158	D₂₁₂	—	4	2	no	—
159	D₂₁₂	—	8	4	no	—
160	D₂₁₂	—	8	4	no	—
161	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
162	#88322	—	2	4	no	—
163	#88322	—	4	2	no	—
164	#88322	—	4	2	no	—
165	#29818	—	53	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
172	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#540	1	2	yes	—
174	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₄×C₅₃	#472	1	4	yes	—
181	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
183	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
184	C₂×#493	—	53	1	no	—
185	#3038	—	53	1	no	—
186	#3038	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
187	#2922	—	53	1	no	—
188	#2045	—	53	4	no	—
189	#2018	—	53	4	no	—
190	#1965	—	53	1	no	—
191	#1965	—	53	1	no	—
192	#1837	—	53	1	no	—
193	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
194	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
196	C₂×C₅₃	#2619	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	16	2	no	—
199	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
200	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
202	C₂×#127	—	53	1	no	—
203	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₄×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	#493	—	106	2	no	—
206	#493	—	106	2	no	—
207	#460	—	2	2	no	—
208	#460	—	106	2	no	—
209	#459	—	2	2	no	—
210	#459	—	106	2	no	—
211	#433	—	106	2	no	—
212	#431	—	106	2	no	—
213	#424	—	53	2	no	—
214	#423	—	53	1	no	—
215	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#418	—	53	2	no	—
217	#418	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×#100	—	53	4	no	—
219	C₂×#100	—	53	4	no	—
220	#408	—	53	2	no	—
221	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
222	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
223	#341	—	53	4	no	—
224	C₅₃	#29818	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
229	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
230	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
231	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
234	C₂×D₈	—	2	2	no	—
235	C₂×D₈	—	106	8	no	—
236	C₂×D₈	—	106	2	no	—
237	C₂×D₈	—	212	4	no	—
238	C₂×D₈	—	212	4	no	—
239	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
240	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
241	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
243	#127	—	2	1	no	—
244	#127	—	2	1	no	—
245	#127	—	2	2	no	—
246	#127	—	106	1	no	—
247	#127	—	106	1	no	—
248	#127	—	106	2	no	—
249	C₄×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
250	C₄×D₄	—	2	2	no	—
251	C₄×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
252	#117	—	2	1	no	—
253	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
258	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
259	#102	—	2	4	no	—
260	#102	—	106	4	no	—
261	#100	—	212	4	no	—
262	#100	—	212	4	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
264	#97	—	106	1	no	—
265	C₄×C₈	—	53	2	no	—
266	C₄×C₈	—	53	2	no	—
267	C₄×C₈	—	106	1	no	—
268	C₂⁴	—	2	2	no	—
269	C₂⁴	—	106	2	no	—
270	#41	—	2	2	no	—
271	#41	—	2	2	no	—
272	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	C₂×D₄	—	2	1	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	2	2	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	2	no	—
279	C₂×D₄	—	4	2	no	—
280	C₂×D₄	—	8	4	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	—	106	2	no	—
283	C₂×D₄	—	106	4	no	—
284	C₂×D₄	—	106	4	no	—
285	C₂×D₄	—	424	4	no	—
286	C₂×D₄	—	212	2	no	—
287	C₂×D₄	—	212	2	no	—
288	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	SD₁₆	—	4	4	no	—
294	SD₁₆	—	212	4	no	—
295	D₈	—	4	4	no	—
296	D₈	—	212	16	no	—
297	D₈	—	212	4	no	—
298	M₁₆	—	2	4	no	—
299	M₁₆	—	106	2	no	—
300	M₁₆	—	106	2	no	—
301	M₁₆	—	106	4	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	53	4	no	—
304	C₂×C₈	—	106	2	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	106	2	no	—
307	C₂×C₈	—	106	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	2	2	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	1	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	8	4	no	—
321	C₂³	—	424	4	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	C₂³	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
325	Q₈	—	2	1	no	—
326	Q₈	—	2	1	no	—
327	D₄	—	2	1	no	—
328	D₄	—	2	1	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	8	4	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	424	4	no	—
336	D₄	—	424	4	no	—
337	D₄	—	212	2	no	—
338	D₄	—	212	4	no	—
339	D₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	4	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	106	4	no	—
353	C₈	—	212	2	no	—
354	C₈	—	212	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	8	4	no	—
359	C₂²	—	8	2	no	—
360	C₂²	—	16	4	no	—
361	C₂²	—	848	4	no	—
362	C₂²	—	424	4	no	—
363	C₂²	—	424	2	no	—
364	C₂²	C₂×#13133189	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811226	1	2	yes	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	#16810891	1	4	yes	—
370	C₄	#16811187	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#16811189	1	2	yes	—
372	C₄	#16811190	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	2	no	—
374	C₂	—	8	1	no	—
375	C₂	—	16	2	no	—
376	C₂	—	848	2	no	—
377	C₂	#20280469	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#16810891	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133189
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3038	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#3038	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29818
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3038

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810999	C₂	semidirect
2. #20284195	C₂	semidirect
3. #20283359	C₂	semidirect
4. #20275970	C₂	semidirect
5. #20275821	C₂	semidirect
6. #20275556	C₂	semidirect
7. #20275554	C₂	semidirect
8. #20274852	C₂	semidirect
9. C₅₃×#3038	C₂	semidirect
186. #3038	D₅₃	semidirect
224. C₅₃	#29818	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810999	2
#20284195	2
#20283359	2
#20275970	2
#20275821	2
#20275556	2
#20275554	2
#20274852	2
C₅₃×#3038	2
#29818	53