Subgroups — #27491548

Order 13568.

800 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20283357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20275980	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275973	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275968	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275827	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20275822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20275565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274853	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₅₃×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133248	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133243	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16810842	—	2	4	no	—
16	#16810835	—	2	4	no	—
17	#16810682	—	2	2	no	—
18	#16810674	—	2	2	no	—
19	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810632	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810628	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133134	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#13133134	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810388	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810388	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#495	—	2	2	no	—
39	C₅₃×#495	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#13133248	—	4	2	no	—
43	#13133248	—	4	2	no	—
44	#13133243	—	4	2	no	—
45	#13133243	—	4	2	no	—
46	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
54	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
55	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
56	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
57	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#13133174	—	2	1	no	—
59	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
60	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
61	#13133146	—	2	2	no	—
62	#13133146	—	2	2	no	—
63	#13133141	—	2	4	no	—
64	#13133138	—	2	4	no	—
65	#13133136	—	4	2	no	—
66	#13133136	—	4	2	no	—
67	#13133134	—	4	2	no	—
68	#13133134	—	4	2	no	—
69	#13133129	—	2	2	no	—
70	#13133129	—	2	2	no	—
71	#13133128	—	2	1	no	—
72	C₄×#88322	—	2	1	no	—
73	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
77	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
85	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
86	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
90	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
91	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
106	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
108	#11719945	—	2	2	no	—
109	#11719945	—	2	2	no	—
110	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	Q₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
115	SD₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
116	D₈×C₅₃	—	4	4	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
123	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
127	#11719925	—	4	4	no	—
128	#11719924	—	4	4	no	—
129	#11719923	—	4	4	no	—
130	#11719922	—	4	4	no	—
131	#11719921	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	#11719919	—	2	2	no	—
134	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
136	#11719917	—	2	2	no	—
137	#11719917	—	2	2	no	—
138	#11719917	—	2	2	no	—
139	#11719917	—	2	2	no	—
140	#11719917	—	2	2	no	—
141	#11719917	—	2	2	no	—
142	C₂×#88322	—	2	1	no	—
143	C₂×#88322	—	2	1	no	—
144	C₂×#88322	—	2	2	no	—
145	C₂×#88322	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
152	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
153	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
154	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
156	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
159	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
166	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
169	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
170	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
173	D₂₁₂	—	2	2	no	—
174	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
176	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
177	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
178	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
180	#88322	—	4	1	no	—
181	#88322	—	4	1	no	—
182	#88322	—	4	2	no	—
183	#88322	—	4	2	no	—
184	#29821	—	53	1	no	maximal, Sylow
185	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₅₃	—	16	2	no	—
189	C₂²×C₅₃	—	16	2	no	—
190	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₅₃	#540	1	2	yes	—
192	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
193	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
194	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
195	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
196	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
197	C₄×C₅₃	#535	1	2	yes	—
198	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
200	Dic₅₃	—	4	1	no	—
201	Dic₅₃	—	4	2	no	—
202	C₂×#495	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
203	#3040	—	53	2	no	—
204	#2922	—	53	1	no	—
205	#2047	—	53	1	no	—
206	#2046	—	53	2	no	—
207	#2045	—	53	1	no	—
208	#2020	—	53	1	no	—
209	#2019	—	53	2	no	—
210	#2018	—	53	1	no	—
211	#1967	—	53	2	no	—
212	#1837	—	53	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
214	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
215	C₂×C₅₃	#2619	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
217	D₅₃	—	8	1	no	—
218	C₂×#137	—	53	2	no	—
219	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	2	no	—
220	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₄×#41	—	53	1	no	—
225	#495	—	2	2	no	—
226	#495	—	2	2	no	—
227	#464	—	106	4	no	—
228	#463	—	106	4	no	—
229	#433	—	106	2	no	—
230	#431	—	106	2	no	—
231	#424	—	53	1	no	—
232	#424	—	53	1	no	—
233	#423	—	53	2	no	—
234	#419	—	53	2	no	—
235	#418	—	53	2	no	—
236	C₂×#101	—	53	2	no	—
237	C₂×#101	—	53	2	no	—
238	C₂×#100	—	53	2	no	—
239	C₂×#100	—	53	2	no	—
240	#408	—	53	1	no	—
241	#408	—	53	1	no	—
242	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
243	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#341	—	53	1	no	—
245	#341	—	53	2	no	—
246	#341	—	53	1	no	—
247	C₅₃	#29821	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
248	C₂×#41	—	53	1	no	—
249	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	#137	—	212	2	no	—
252	#137	—	212	2	no	—
253	AGL(1,ℤ/8)	—	212	2	no	—
254	AGL(1,ℤ/8)	—	212	2	no	—
255	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
258	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
259	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
260	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
261	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
262	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
263	C₂×D₈	—	2	2	no	—
264	C₂×D₈	—	4	2	no	—
265	C₂×D₈	—	106	2	no	—
266	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
267	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
268	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
269	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
270	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	#124	—	2	4	no	—
273	#124	—	2	2	no	—
274	#124	—	2	2	no	—
275	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
276	C₄×D₄	—	53	2	no	—
277	C₄×D₄	—	106	2	no	—
278	#117	—	53	1	no	—
279	#117	—	106	1	no	—
280	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
282	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
284	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
286	#103	—	106	4	no	—
287	#102	—	106	4	no	—
288	#101	—	212	2	no	—
289	#101	—	212	2	no	—
290	#100	—	212	2	no	—
291	#100	—	212	2	no	—
292	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
293	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
294	#97	—	106	1	no	—
295	C₄×C₈	—	106	1	no	—
296	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
297	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
298	C₂⁴	—	2	2	no	—
299	#41	—	106	2	no	—
300	#41	—	106	2	no	—
301	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
302	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
303	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
304	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
305	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
307	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
308	C₂×D₄	—	2	2	no	—
309	C₂×D₄	—	2	2	no	—
310	C₂×D₄	—	2	2	no	—
311	C₂×D₄	—	2	2	no	—
312	C₂×D₄	—	2	2	no	—
313	C₂×D₄	—	2	2	no	—
314	C₂×D₄	—	53	1	no	—
315	C₂×D₄	—	106	1	no	—
316	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
319	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	Q₁₆	—	4	4	no	—
322	Q₁₆	—	212	4	no	—
323	SD₁₆	—	4	8	no	—
324	SD₁₆	—	212	4	no	—
325	SD₁₆	—	212	4	no	—
326	D₈	—	4	4	no	—
327	D₈	—	212	4	no	—
328	M₁₆	—	106	2	no	—
329	M₁₆	—	106	2	no	—
330	M₁₆	—	106	2	no	—
331	M₁₆	—	106	2	no	—
332	M₁₆	—	106	2	no	—
333	M₁₆	—	106	2	no	—
334	C₂×C₈	—	2	2	no	—
335	C₂×C₈	—	2	2	no	—
336	C₂×C₈	—	106	2	no	—
337	C₂×C₈	—	106	2	no	—
338	C₂×C₈	—	106	1	no	—
339	C₂×C₈	—	106	1	no	—
340	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
341	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
342	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
343	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
348	C₄²	—	106	2	no	—
349	C₄²	—	106	1	no	—
350	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
351	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂³	—	4	2	no	—
354	C₂³	—	4	2	no	—
355	C₂³	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	8	4	no	—
357	C₂³	—	106	1	no	—
358	C₂³	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
359	Q₈	—	4	2	no	—
360	Q₈	—	4	2	no	—
361	Q₈	—	4	2	no	—
362	Q₈	—	4	2	no	—
363	Q₈	—	106	2	no	—
364	D₄	—	4	2	no	—
365	D₄	—	4	2	no	—
366	D₄	—	4	2	no	—
367	D₄	—	4	2	no	—
368	D₄	—	106	2	no	—
369	D₄	—	212	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	—	106	1	no	—
376	C₂×C₄	—	212	4	no	—
377	C₂×C₄	—	212	1	no	—
378	C₂×C₄	—	212	1	no	—
379	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₈	—	212	2	no	—
388	C₈	—	212	2	no	—
389	C₈	—	212	1	no	—
390	C₈	—	212	1	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	8	4	no	—
393	C₂²	—	8	2	no	—
394	C₂²	—	16	2	no	—
395	C₂²	—	16	2	no	—
396	C₂²	—	212	2	no	—
397	C₂²	—	212	1	no	—
398	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
399	C₂²	#16811227	1	2	yes	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	8	2	no	—
403	C₄	—	212	2	no	—
404	C₄	—	212	1	no	—
405	C₄	#16811186	1	2	yes	—
406	C₄	#16811190	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#16811190	1	1	yes	characteristic
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	16	2	no	—
410	C₂	—	424	1	no	—
411	C₂	#20280466	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#20284431	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133188
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#495	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#20275822	C₂
hypercenter	C₂×#495	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29821
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#495

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20284205	C₂	semidirect
2. #20283357	C₂	semidirect
3. #20275980	C₂	semidirect
4. #20275973	C₂	semidirect
5. #20275968	C₂	semidirect
6. #20275834	C₂	semidirect
7. #20275827	C₂	semidirect
9. #20275565	C₂	semidirect
10. #20274853	C₂	semidirect
11. C₂×C₅₃×#495	C₂	semidirect
202. C₂×#495	D₅₃	semidirect
247. C₅₃	#29821	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284205	2
#20283357	2
#20275980	2
#20275973	2
#20275968	2
#20275834	2
#20275827	2
#20275822	2
#20275565	2
#20274853	2
C₂×C₅₃×#495	2
#29821	53