Subgroups — #27492412

Order 13568.

746 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284001	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276179	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276165	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20275240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20275003	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274937	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133242	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#11719924	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811390	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16811390	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16811187	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810768	—	2	2	no	—
18	#16810762	—	2	2	no	—
19	#16810672	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810650	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810632	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810627	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810619	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810607	—	2	2	no	—
25	#16810607	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#13133136	—	2	2	no	—
27	C₂×#13133136	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#13133133	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810590	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810394	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810393	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810379	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×2₋¹⁺⁴×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#421	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#419	C₂²	1	2	yes	—
37	C₅₃×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#410	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#13133242	—	4	2	no	—
41	C₂×#11719924	—	2	1	no	—
42	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719924	—	4	2	no	—
44	C₂×#11719922	—	2	1	no	—
45	#13133224	—	4	2	no	—
46	#13133224	—	4	2	no	—
47	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#13133213	—	2	1	no	—
54	#13133206	—	2	1	no	—
55	#13133191	—	2	2	no	—
56	#13133185	—	2	2	no	—
57	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#13133153	—	4	2	no	—
59	C₄⋊#88322	—	4	2	no	—
60	#13133141	—	2	1	no	—
61	#13133141	—	2	2	no	—
62	#13133138	—	2	1	no	—
63	#13133137	—	4	2	no	—
64	#13133136	—	2	2	no	—
65	#13133136	—	2	4	no	—
66	#13133134	—	2	2	no	—
67	#13133133	—	4	2	no	—
68	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
69	2₋¹⁺⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
70	2₋¹⁺⁴×C₅₃	—	4	2	no	—
71	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×#41×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
74	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
80	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	#104×C₅₃	—	4	2	no	—
82	#103×C₅₃	—	4	2	no	—
83	#101×C₅₃	—	2	1	no	—
84	#100×C₅₃	—	2	1	no	—
85	#99×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
87	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
88	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
89	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
90	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
91	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
92	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
93	#41×C₅₃	—	4	8	no	—
94	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
109	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
118	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
119	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
120	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
121	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
122	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	#11719924	—	4	4	no	—
129	#11719924	—	4	2	no	—
130	#11719922	—	4	2	no	—
131	#11719921	—	4	2	no	—
132	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
133	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
134	#11719917	—	2	2	no	—
135	#11719917	—	2	2	no	—
136	#11719917	—	2	2	no	—
137	#11719917	—	2	2	no	—
138	#11719917	—	2	2	no	—
139	#11719917	—	4	2	no	—
140	#11719917	—	4	2	no	—
141	C₂×#88322	—	2	1	no	—
142	C₂×#88322	—	2	1	no	—
143	C₂×#88322	—	2	2	no	—
144	C₂×#88322	—	2	2	no	—
145	C₂×#88322	—	2	2	no	—
146	C₂×#88322	—	4	2	no	—
147	C₂×#88322	—	4	2	no	—
148	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
149	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
150	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
152	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂²×D₅₃	—	16	1	no	—
154	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
157	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
158	Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
159	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
160	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
161	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
162	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
163	D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
164	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
166	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
177	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
180	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
181	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
182	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
183	D₂₁₂	—	4	1	no	—
184	D₂₁₂	—	4	1	no	—
185	D₂₁₂	—	4	2	no	—
186	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
187	#88322	—	4	1	no	—
188	#88322	—	4	2	no	—
189	#88322	—	4	2	no	—
190	#88322	—	4	1	no	—
191	#29904	—	53	1	no	maximal, Sylow
192	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
194	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
197	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₅₃	#538	1	2	yes	—
199	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
200	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
201	C₂×D₅₃	—	16	2	no	—
202	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
203	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
204	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
205	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
206	C₄×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₅₃	#538	1	2	yes	—
209	Dic₅₃	—	8	1	no	—
210	#3010	—	53	1	no	—
211	#2889	—	53	1	no	—
212	#2082	—	53	2	no	—
213	#2080	—	53	2	no	—
214	#2048	—	53	2	no	—
215	#2046	—	53	2	no	—
216	#1914	—	53	1	no	—
217	#1910	—	53	1	no	—
218	#1868	—	53	1	no	—
219	#1858	—	53	1	no	—
220	#1796	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
221	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
222	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
223	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
224	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
225	C₂×C₅₃	#2622	1	1	yes	characteristic
226	D₅₃	—	16	1	no	—
227	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	1	no	—
229	C₂²×SD₁₆	—	53	1	no	—
230	#568	—	53	1	no	—
231	#568	—	53	1	no	—
232	#535	—	53	1	no	—
233	#449	—	106	2	no	—
234	#448	—	106	2	no	—
235	#430	—	53	2	no	—
236	#424	—	53	2	no	—
237	#421	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
238	#419	—	53	1	no	—
239	#419	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
240	#418	—	53	2	no	—
241	#416	—	53	1	no	—
242	#413	—	53	2	no	—
243	#413	—	106	2	no	—
244	#413	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×#101	—	53	2	no	—
246	C₂×#101	—	106	2	no	—
247	C₂×#100	—	53	2	no	—
248	#410	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	#408	—	53	1	no	—
250	#344	—	53	2	no	—
251	#344	—	53	2	no	—
252	#341	—	53	2	no	—
253	H(3,ℤ/4)	—	53	2	no	—
254	C₅₃	#29904	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
255	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
256	2₋¹⁺⁴	—	4	2	no	—
257	C₂×#41	—	2	1	no	—
258	C₂×#41	—	2	2	no	—
259	C₂×#41	D₂₁₂	1	2	yes	—
260	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
263	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
264	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
266	AGL(1,ℤ/8)	—	212	2	no	—
267	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
268	C₂×SD₁₆	—	106	1	no	—
269	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
270	C₂×D₈	—	106	1	no	—
271	#131	—	212	2	no	—
272	#131	—	212	2	no	—
273	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
274	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
275	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
276	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
277	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
278	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
280	#127	—	106	1	no	—
281	#124	—	106	1	no	—
282	#121	—	106	2	no	—
283	#120	—	106	2	no	—
284	#117	—	53	1	no	—
285	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
286	#108	—	212	2	no	—
287	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
288	#104	—	4	2	no	—
289	#103	—	4	2	no	—
290	#103	—	106	1	no	—
291	#103	—	106	2	no	—
292	#102	—	106	1	no	—
293	#102	—	212	2	no	—
294	#101	—	2	1	no	—
295	#101	—	106	4	no	—
296	#101	—	106	2	no	—
297	#100	—	2	1	no	—
298	#100	—	106	2	no	—
299	#100	—	212	2	no	—
300	#99	—	2	2	no	—
301	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
302	C₂⁴	—	106	1	no	—
303	#41	—	2	2	no	—
304	#41	—	2	2	no	—
305	#41	—	2	2	no	—
306	#41	—	2	2	no	—
307	#41	—	4	2	no	—
308	#41	—	4	2	no	—
309	#41	—	4	8	no	—
310	#41	—	4	4	no	—
311	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
312	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
313	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
314	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
315	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
316	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
317	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
318	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
319	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
320	C₂×Q₈	#11719947	1	1	yes	characteristic
321	C₂×D₄	—	2	2	no	—
322	C₂×D₄	—	2	1	no	—
323	C₂×D₄	—	106	1	no	—
324	C₂×D₄	—	106	1	no	—
325	C₂×D₄	—	106	2	no	—
326	C₂×D₄	—	106	2	no	—
327	C₂×D₄	—	212	2	no	—
328	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
329	C₂×D₄	#11719947	1	2	yes	—
330	C₂×D₄	#11719947	1	1	yes	characteristic
331	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
336	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	SD₁₆	—	212	4	no	—
338	SD₁₆	—	212	2	no	—
339	D₈	—	212	2	no	—
340	M₁₆	—	2	2	no	—
341	M₁₆	—	2	2	no	—
342	M₁₆	—	106	2	no	—
343	M₁₆	—	106	2	no	—
344	M₁₆	—	106	2	no	—
345	M₁₆	—	106	2	no	—
346	M₁₆	—	106	2	no	—
347	M₁₆	—	212	2	no	—
348	M₁₆	—	212	2	no	—
349	C₂×C₈	—	2	2	no	—
350	C₂×C₈	—	106	1	no	—
351	C₂×C₈	—	106	1	no	—
352	C₂×C₈	—	106	2	no	—
353	C₂×C₈	—	106	2	no	—
354	C₂×C₈	—	106	2	no	—
355	C₂×C₈	—	212	2	no	—
356	C₂×C₈	—	212	2	no	—
357	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
358	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
359	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
360	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
361	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
362	C₄²	—	2	2	no	—
363	C₄²	—	106	1	no	—
364	C₂³	—	2	1	no	—
365	C₂³	—	848	1	no	—
366	C₂³	—	212	2	no	—
367	C₂³	—	212	1	no	—
368	C₂³	#13133201	1	2	yes	—
369	C₂³	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
370	Q₈	—	2	2	no	—
371	Q₈	—	2	2	no	—
372	Q₈	—	2	1	no	—
373	Q₈	—	2	2	no	—
374	Q₈	—	2	1	no	—
375	Q₈	—	4	4	no	—
376	Q₈	—	4	2	no	—
377	D₄	—	2	4	no	—
378	D₄	—	2	1	no	—
379	D₄	—	2	1	no	—
380	D₄	—	2	2	no	—
381	D₄	—	4	4	no	—
382	D₄	—	4	2	no	—
383	D₄	—	848	2	no	—
384	D₄	—	212	1	no	—
385	D₄	—	212	1	no	—
386	D₄	—	212	2	no	—
387	C₂×C₄	—	2	2	no	—
388	C₂×C₄	—	2	2	no	—
389	C₂×C₄	—	2	1	no	—
390	C₂×C₄	—	2	2	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	2	no	—
394	C₂×C₄	—	4	2	no	—
395	C₂×C₄	—	4	2	no	—
396	C₂×C₄	—	212	1	no	—
397	C₂×C₄	#13133201	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
402	C₈	—	4	2	no	—
403	C₈	—	212	1	no	—
404	C₈	—	212	2	no	—
405	C₈	—	212	2	no	—
406	C₈	—	212	1	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	4	1	no	—
409	C₂²	—	4	2	no	—
410	C₂²	—	4	1	no	—
411	C₂²	—	8	1	no	—
412	C₂²	—	848	2	no	—
413	C₂²	—	424	2	no	—
414	C₂²	—	424	1	no	—
415	C₂²	C₂×#13133201	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#16811208	1	2	yes	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	4	2	no	—
419	C₄	—	4	1	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	424	1	no	—
422	C₄	#16811185	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#16811185	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#16811208	1	2	yes	—
425	C₂	—	2	2	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	4	2	no	—
428	C₂	—	8	1	no	—
429	C₂	—	848	1	no	—
430	C₂	#20280491	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂	#20280491
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1796	C₂
socle	C₂×C₅₃	#2622
prime radical	#20284001	C₂
hypercenter	#1796	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29904
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1796

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283198	C₂	semidirect
3. #20276179	C₂	semidirect
4. #20276165	C₂	semidirect
5. #20275989	C₂	semidirect
6. #20275975	C₂	semidirect
7. #20275260	C₂	semidirect
8. #20275240	C₂	semidirect
9. #20275003	C₂	semidirect
10. #20274937	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1796	C₂	semidirect
220. #1796	D₅₃	semidirect
254. C₅₃	#29904	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284001	2
#20283198	2
#20276179	2
#20276165	2
#20275989	2
#20275975	2
#20275260	2
#20275240	2
#20275003	2
#20274937	2
C₅₃×#1796	2
#29904	53