Subgroups — #27496249

Order 13568.

1270 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810857	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#20283060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275786	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275785	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719922	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810857	—	2	16	no	—
15	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
18	#16810525	—	2	2	no	—
19	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#121×C₅₃	—	2	2	no	—
25	C₂×#121×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#390	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#390	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂×#11719922	—	2	8	no	—
34	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
35	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
36	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
37	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
38	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	complemented
39	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
40	#13133214	—	4	2	no	—
41	#13133191	—	2	8	no	—
42	#13133191	—	4	8	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
47	#13133150	—	2	8	no	—
48	#13133138	—	2	8	no	—
49	#13133137	—	2	8	no	—
50	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#127×C₅₃	—	4	2	no	—
56	#121×C₅₃	—	2	8	no	—
57	#121×C₅₃	—	4	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	8	yes	complemented
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
107	#11719922	—	4	16	no	—
108	#11719921	—	4	4	no	—
109	#11719921	—	4	8	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂×#88322	—	4	8	no	—
115	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
126	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
134	D₄×C₅₃	—	8	8	no	—
135	D₄×C₅₃	—	8	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
157	D₂₁₂	—	4	4	no	—
158	D₂₁₂	—	4	4	no	—
159	D₂₁₂	—	8	8	no	—
160	#88322	—	2	8	no	—
161	#30239	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂²×C₅₃	#493	1	4	yes	—
172	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	2	yes	—
176	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
177	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
185	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
186	C₄×C₅₃	#534	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
188	Dic₅₃	—	8	2	no	—
189	C₂×#466	—	53	4	no	—
190	#2856	—	53	1	no	—
191	#2856	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	#2093	—	53	2	no	—
193	#2093	—	53	2	no	—
194	#2011	—	53	2	no	—
195	#2011	—	53	2	no	—
196	C₂×#336	—	53	1	no	—
197	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
198	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
199	C₂×C₅₃	#2656	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3150	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3186	1	2	yes	—
203	C₂×C₅₃	#3245	1	2	yes	—
204	D₅₃	—	16	2	no	—
205	C₂²×D₈	—	53	4	no	—
206	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
207	C₂×#127	—	53	1	no	—
208	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#121	—	2	2	no	—
210	C₂×#121	—	53	2	no	—
211	C₂×#121	—	106	2	no	—
212	C₂×#121	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#466	—	106	16	no	—
215	C₂×#107	—	53	4	no	—
216	C₂×#102	—	53	4	no	—
217	C₂×#102	—	53	4	no	—
218	#390	—	2	2	no	—
219	#390	—	53	2	no	—
220	#390	—	106	2	no	—
221	#390	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	#384	—	53	1	no	—
223	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	#336	—	53	2	no	—
225	#336	—	53	2	no	—
226	C₅₃	#30239	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
227	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
231	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
232	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×D₈	—	106	8	no	—
236	C₂×D₈	—	212	4	no	—
237	C₂×D₈	—	212	4	no	—
238	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
239	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
240	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
241	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
242	#127	—	4	2	no	—
243	#127	—	212	2	no	—
244	#121	—	2	8	no	—
245	#121	—	4	8	no	—
246	#121	—	106	8	no	—
247	#121	—	212	8	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
257	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
258	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	#107	—	106	8	no	—
261	#102	—	106	8	no	—
262	#102	—	106	8	no	—
263	C₂⁴	—	2	2	no	—
264	C₂⁴	—	106	2	no	—
265	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	2	no	—
269	C₂×D₄	—	2	2	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	8	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	106	4	no	—
276	C₂×D₄	—	106	4	no	—
277	C₂×D₄	—	106	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	2	no	—
279	C₂×D₄	—	212	4	no	—
280	C₂×D₄	—	212	4	no	—
281	C₂×D₄	—	212	4	no	—
282	C₂×D₄	—	212	8	no	—
283	C₂×D₄	—	212	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²×C₄	#11719922	1	8	yes	complemented
292	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
293	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	D₈	—	212	16	no	—
298	C₂×C₈	—	53	8	no	—
299	C₂×C₈	—	106	4	no	—
300	C₂×C₈	—	106	4	no	—
301	C₂×C₈	—	212	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	1	no	—
315	C₂³	—	2	1	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	2	no	—
321	C₂³	—	212	4	no	—
322	C₂³	—	212	2	no	—
323	C₂³	—	212	4	no	—
324	C₂³	—	212	2	no	—
325	C₂³	—	212	2	no	—
326	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
327	C₂³	C₂×#11719922	1	4	yes	—
328	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	8	8	no	—
332	D₄	—	8	8	no	—
333	D₄	—	424	8	no	—
334	D₄	—	424	8	no	—
335	D₄	—	212	4	no	—
336	D₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	1	no	—
342	C₂×C₄	—	2	1	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	8	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	4	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	106	8	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	2	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	8	4	no	—
363	C₂²	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	424	4	no	—
368	C₂²	—	424	4	no	—
369	C₂²	—	424	2	no	—
370	C₂²	—	424	2	no	—
371	C₂²	—	424	2	no	—
372	C₂²	#16810999	1	4	yes	—
373	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#16811182	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	C₂²×#11719922	1	2	yes	—
377	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
378	C₄	—	2	4	no	—
379	C₄	—	2	4	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	424	2	no	—
383	C₄	#16811181	1	2	yes	—
384	C₄	#16811200	1	2	yes	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	16	2	no	—
387	C₂	—	848	2	no	—
388	C₂	#20280819	1	1	yes	characteristic
389	C₂	C₂×#16810999	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#20285160	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20285463	1	2	yes	—
392	C₂	#20286022	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2856	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#2856	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#30239
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2856

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810857	C₂	semidirect
2. #20283060	C₂	semidirect
3. #20276244	C₂	semidirect
4. #20276243	C₂	semidirect
5. #20275786	C₂	semidirect
6. #20275785	C₂	semidirect
7. C₂×#16810378	C₂	semidirect
8. C₅₃×#2856	C₂	semidirect
38. C₂²×#88322	D₄	semidirect
84. C₂²×C₄×C₅₃	D₈	semidirect
191. #2856	D₅₃	semidirect
226. C₅₃	#30239	semidirect
291. C₂²×C₄	#11719922	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810857	2
#20283060	2
#20276244	2
#20276243	2
#20275786	2
#20275785	2
C₂×#16810378	2
C₅₃×#2856	2
#30239	53