Subgroups — #27496271

Order 13568.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810862	C₂	1	4	yes	maximal
2	#20283067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276253	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16810378	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₅₃×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11719925	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133196	C₂²	1	2	yes	—
13	#16810862	—	2	16	no	—
14	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810521	—	2	2	no	—
19	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810483	—	2	2	no	—
21	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#380	—	2	2	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
32	C₂×#11719925	—	4	4	no	—
33	C₂×#11719925	—	4	4	no	—
34	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
35	C₂²×#88322	—	4	2	no	—
36	C₂²×#88322	D₄	1	8	yes	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
38	#13133217	—	4	2	no	—
39	#13133196	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133150	—	2	8	no	—
46	#13133141	—	2	8	no	—
47	#13133140	—	2	8	no	—
48	#13133124	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
53	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	Q₁₆	1	8	yes	complemented
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	#11719925	—	4	16	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
101	#11719919	—	4	4	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	4	8	no	—
105	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
113	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
140	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
141	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
142	#88322	—	2	8	no	—
143	#30242	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	#494	1	4	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
158	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
159	C₄×C₅₃	#534	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
161	Dic₅₃	—	8	2	no	—
162	Dic₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂×#467	—	53	4	no	—
164	#2857	—	53	1	no	—
165	#2857	D₅₃	1	1	yes	characteristic
166	#2095	—	53	2	no	—
167	#2095	—	53	2	no	—
168	#2016	—	53	2	no	—
169	#2016	—	53	2	no	—
170	C₂×#336	—	53	1	no	—
171	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₂×C₅₃	#2656	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#3150	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3189	1	2	yes	—
176	C₂×C₅₃	#3249	1	2	yes	—
177	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
178	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
180	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
184	#467	—	106	16	no	—
185	C₂×#107	—	53	4	no	—
186	C₂×#103	—	53	4	no	—
187	C₂×#103	—	53	4	no	—
188	#391	—	53	2	no	—
189	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#389	—	2	2	no	—
191	#389	—	106	2	no	—
192	#384	—	53	1	no	—
193	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#380	—	2	2	no	—
195	#380	—	106	2	no	—
196	#336	—	53	2	no	—
197	#336	—	53	2	no	—
198	C₅₃	#30242	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
199	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
200	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
204	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
205	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
206	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
207	C₂²×C₈	—	53	8	no	—
208	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
209	C₂²×C₈	—	212	2	no	—
210	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
211	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
212	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
224	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
225	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	#107	—	106	8	no	—
229	#103	—	106	8	no	—
230	#103	—	106	8	no	—
231	#95	—	2	4	no	—
232	#95	—	106	4	no	—
233	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
251	C₂²×C₄	#11719925	1	8	yes	complemented
252	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	Q₁₆	—	212	16	no	—
258	C₂×C₈	—	53	8	no	—
259	C₂×C₈	—	106	4	no	—
260	C₂×C₈	—	106	4	no	—
261	C₂×C₈	—	212	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	#13133213	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#11719925	1	4	yes	—
280	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	—	4	4	no	—
283	Q₈	—	212	4	no	—
284	Q₈	—	212	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	212	2	no	—
300	C₂×C₄	—	212	2	no	—
301	C₂×C₄	—	212	4	no	—
302	C₂×C₄	—	212	2	no	—
303	C₂×C₄	—	212	2	no	—
304	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	106	8	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	#16811002	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	#16811182	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂²×#11719925	1	2	yes	—
321	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	4	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	8	2	no	—
326	C₄	—	8	2	no	—
327	C₄	—	424	2	no	—
328	C₄	—	424	2	no	—
329	C₄	#16811181	1	2	yes	—
330	C₄	#16811200	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	4	no	—
332	C₂	#20280819	1	1	yes	characteristic
333	C₂	C₂×#16811002	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20285160	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#20285487	1	2	yes	—
336	C₂	#20286057	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2857	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#2857	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#30242
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2857

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20276254	C₂	semidirect
4. #20276253	C₂	semidirect
5. #20275815	C₂	semidirect
6. #20275814	C₂	semidirect
76. C₂²×C₄×C₅₃	Q₁₆	semidirect
198. C₅₃	#30242	semidirect
251. C₂²×C₄	#11719925	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810862	2
#20283067	2
#20276254	2
#20276253	2
#20275815	2
#20275814	2
C₂×#16810378	2
C₅₃×#2857	2
#30242	53