Subgroups — #27496322

Order 13568.

1106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810869	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#20283067	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276252	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275805	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719913	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133196	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
14	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810869	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133151	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810525	—	2	2	no	—
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810521	—	2	2	no	—
23	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810483	—	2	2	no	—
26	C₂²×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
35	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
37	#13133217	—	4	2	no	—
38	#13133214	—	4	2	no	—
39	#13133196	—	2	8	no	—
40	#13133191	—	2	8	no	—
41	#13133191	—	4	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
51	#13133151	—	2	8	no	—
52	#13133142	—	2	8	no	—
53	#13133139	—	2	8	no	—
54	#13133124	—	2	4	no	—
55	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
58	C₂×M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
102	#11719921	—	4	4	no	—
103	#11719921	—	4	8	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
109	#11719919	—	4	4	no	—
110	#11719913	—	4	16	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	#127	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
146	D₂₁₂	—	4	4	no	—
147	D₂₁₂	—	4	4	no	—
148	D₂₁₂	—	8	8	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
152	#30248	—	53	1	no	maximal, Sylow
153	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
163	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₄×C₅₃	#534	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	#537	1	2	yes	—
173	Dic₅₃	—	8	2	no	—
174	Dic₅₃	—	8	2	no	—
175	Dic₅₃	—	8	2	no	—
176	C₂×#468	—	53	4	no	—
177	#2857	—	53	1	no	—
178	#2856	—	53	1	no	—
179	#2095	—	53	2	no	—
180	#2093	—	53	2	no	—
181	#2014	—	53	2	no	—
182	#2013	—	53	2	no	—
183	#1728	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
184	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×C₅₃	#2656	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3193	1	2	yes	—
189	C₂×C₅₃	#3254	1	2	yes	—
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
192	C₂²×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
194	C₂×#127	—	53	1	no	—
195	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
196	C₂×#121	—	53	2	no	—
197	C₂×#121	—	106	2	no	—
198	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#468	—	106	16	no	—
200	C₂×#107	—	53	4	no	—
201	C₂×#103	—	53	4	no	—
202	C₂×#102	—	53	4	no	—
203	#391	—	53	2	no	—
204	#390	—	53	2	no	—
205	#390	—	106	2	no	—
206	#389	—	106	2	no	—
207	#384	—	53	1	no	—
208	#384	—	53	1	no	—
209	#380	—	106	2	no	—
210	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₅₃	#30248	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
214	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
215	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
216	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
217	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
220	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
221	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
222	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
223	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
224	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
225	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
227	#127	—	212	2	no	—
228	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
229	#121	—	106	8	no	—
230	#121	—	212	8	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
240	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
241	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#107	—	106	8	no	—
245	#103	—	106	8	no	—
246	#102	—	106	8	no	—
247	#95	—	106	4	no	—
248	C₂⁴	—	106	2	no	—
249	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
250	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
254	C₂×D₄	—	106	4	no	—
255	C₂×D₄	—	106	4	no	—
256	C₂×D₄	—	106	2	no	—
257	C₂×D₄	—	106	2	no	—
258	C₂×D₄	—	212	4	no	—
259	C₂×D₄	—	212	4	no	—
260	C₂×D₄	—	212	8	no	—
261	C₂×D₄	—	212	4	no	—
262	C₂×D₄	—	212	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
272	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	SD₁₆	—	212	16	no	—
278	M₁₆	—	4	8	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	4	no	—
281	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	—	2	1	no	—
297	C₂³	—	2	1	no	—
298	C₂³	—	212	4	no	—
299	C₂³	—	212	4	no	—
300	C₂³	—	212	2	no	—
301	C₂³	—	212	2	no	—
302	C₂³	—	212	2	no	—
303	C₂³	#13133214	1	2	yes	—
304	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
305	Q₈	—	212	4	no	—
306	Q₈	—	212	4	no	—
307	D₄	—	424	8	no	—
308	D₄	—	424	8	no	—
309	D₄	—	212	4	no	—
310	D₄	—	212	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	212	4	no	—
321	C₂×C₄	—	212	4	no	—
322	C₂×C₄	—	212	2	no	—
323	C₂×C₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	2	no	—
325	C₂×C₄	—	212	2	no	—
326	C₂×C₄	—	212	2	no	—
327	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#13133245	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#13133250	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	8	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	424	4	no	—
341	C₂²	—	424	4	no	—
342	C₂²	—	424	2	no	—
343	C₂²	—	424	2	no	—
344	C₂²	—	424	2	no	—
345	C₂²	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#16811185	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#16811204	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#13133245	1	2	yes	—
349	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	424	2	no	—
354	C₄	—	424	2	no	—
355	C₄	—	424	2	no	—
356	C₄	#16811185	1	2	yes	—
357	C₄	#16811204	1	2	yes	—
358	C₂	—	4	2	no	—
359	C₂	—	848	2	no	—
360	C₂	#20280817	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20285167	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20285174	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#20285522	1	2	yes	—
364	C₂	#20286103	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1728	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	#20283060	C₂
hypercenter	#1728	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#30248
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1728

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810869	C₂	semidirect
2. #20283067	C₂	semidirect
4. #20276252	C₂	semidirect
5. #20276242	C₂	semidirect
6. #20275805	C₂	semidirect
7. #20275800	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1728	C₂	semidirect
59. C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	semidirect
183. #1728	D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#30248	semidirect
224. C₂×M₁₆	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810869	2
#20283067	2
#20283060	2
#20276252	2
#20276242	2
#20275805	2
#20275800	2
C₅₃×#1728	2
#30248	53