Subgroups — #27534431

Order 13568.

870 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄²×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275283	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20274961	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20274832	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274712	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₅₃×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
11	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
14	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#11719921	—	2	1	no	—
17	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
18	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#125×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
23	C₅₃×#389	C₂²	1	4	yes	—
24	C₅₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#382	—	2	1	no	—
26	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
28	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
32	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
34	C₄×D₂₁₂	Q₈	1	4	yes	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
38	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₄²×D₅₃	—	4	4	no	—
42	#13133150	—	2	8	no	—
43	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
44	#13133137	—	2	8	no	—
45	#13133124	—	2	2	no	—
46	#13133124	—	2	1	no	—
47	#125×C₅₃	—	4	4	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
66	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
68	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
69	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
70	C₂×D₂₁₂	#41	1	4	yes	—
71	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
77	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
81	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	D₈	1	4	yes	—
87	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	#11719921	—	2	8	no	—
90	#11719921	—	2	4	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
95	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
96	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
130	D₂₁₂	—	2	4	no	—
131	D₂₁₂	—	2	2	no	—
132	D₂₁₂	#125	1	4	yes	complemented
133	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
134	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
135	#88322	—	4	4	no	—
136	#33066	—	53	1	no	maximal, Sylow
137	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#525	1	2	yes	—
139	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
142	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
149	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
151	C₄×C₅₃	#474	1	4	yes	—
152	C₄×C₅₃	C₂×#125	1	1	yes	characteristic
153	C₄×C₅₃	#529	1	2	yes	—
154	C₄×C₅₃	#533	1	1	yes	characteristic
155	Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	#2859	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
158	C₄²×D₄	—	53	1	no	—
159	#1947	—	53	2	no	—
160	#1918	—	53	4	no	—
161	#1862	—	53	4	no	—
162	#1831	—	53	1	no	—
163	#1802	—	53	2	no	—
164	C₂×C₅₃	#2851	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	#3080	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	#3100	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	#3116	1	2	yes	—
169	D₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂×#125	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
172	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
173	C₂²×C₄²	—	106	1	no	—
174	C₂×#107	—	53	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
176	C₂×#102	—	53	4	no	—
177	#389	—	2	2	no	—
178	#389	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
179	#384	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	#382	—	2	1	no	—
181	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
182	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
183	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
184	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
185	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	#340	—	53	4	no	—
187	#340	—	53	4	no	—
188	#336	—	53	4	no	—
189	C₅₃	#33066	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
190	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
191	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
192	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
193	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
194	#125	—	4	4	no	—
195	C₄×D₄	—	53	4	no	—
196	C₄×D₄	—	106	4	no	—
197	C₄×D₄	—	106	4	no	—
198	C₄×D₄	—	106	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
207	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
209	C₂×C₄²	—	212	4	no	—
210	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#107	—	106	8	no	—
216	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
217	#102	—	106	8	no	—
218	#95	—	2	4	no	—
219	#95	—	106	2	no	—
220	#95	—	106	1	no	—
221	C₂⁴	—	106	1	no	—
222	C₂×D₄	—	53	2	no	—
223	C₂×D₄	—	53	4	no	—
224	C₂×D₄	—	106	2	no	—
225	C₂×D₄	—	106	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	—	106	4	no	—
241	C₂×C₈	—	106	4	no	—
242	C₂×C₈	—	106	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	—	4	2	no	—
258	C₄²	—	212	4	no	—
259	C₄²	—	212	2	no	—
260	C₄²	#11719922	1	4	yes	—
261	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
263	C₂³	—	106	2	no	—
264	C₂³	—	106	4	no	—
265	C₂³	—	212	1	no	—
266	C₂³	—	212	1	no	—
267	C₂³	—	212	2	no	—
268	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	D₄	—	53	4	no	—
270	D₄	—	106	4	no	—
271	D₄	—	106	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂×C₄	—	106	4	no	—
283	C₂×C₄	—	212	16	no	—
284	C₂×C₄	—	212	2	no	—
285	C₂×C₄	—	212	1	no	—
286	C₂×C₄	—	212	1	no	—
287	C₂×C₄	—	212	2	no	—
288	C₂×C₄	—	212	8	no	—
289	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13133248	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
298	C₈	—	212	4	no	—
299	C₂²	—	106	4	no	—
300	C₂²	—	212	4	no	—
301	C₂²	—	212	2	no	—
302	C₂²	—	212	2	no	—
303	C₂²	—	212	4	no	—
304	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#16811130	1	2	yes	—
306	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	4	2	no	—
312	C₄	—	8	4	no	—
313	C₄	—	212	4	no	—
314	C₄	—	212	2	no	—
315	C₄	#16810900	1	4	yes	—
316	C₄	#125×D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	C₄	#16811158	1	2	yes	—
318	C₄	#16811179	1	1	yes	characteristic
319	C₂	—	212	4	no	—
320	C₂	#20283020	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#16810900	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#20284533	1	1	yes	characteristic
323	C₂	#20284711	1	2	yes	—
324	C₂	#20284871	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2859	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂³
hypercenter	#2859	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33066
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #2859

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275471	C₂	semidirect
3. #20275283	C₂	semidirect
5. #20274832	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2859	C₂	semidirect
132. D₂₁₂	#125	semidirect
157. #2859	D₅₃	semidirect
189. C₅₃	#33066	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄²×D₂₁₂	2
#20275471	2
#20275283	2
#20274961	2
#20274832	2
#20274712	2
C₅₃×#2859	2
#33066	53