Subgroups — #27537437

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283566	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276582	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276564	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276504	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#16810425	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276311	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811106	—	2	1	no	—
14	#16811097	—	2	1	no	—
15	#16811058	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133157	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810734	—	2	2	no	—
20	#16810724	—	2	2	no	—
21	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
22	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#16810705	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810705	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810627	—	2	1	no	—
27	#16810624	—	2	1	no	—
28	#16810578	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810450	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#16810448	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810398	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₅₃×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₅₃×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₅₃×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
46	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#11719917	D₄	1	1	yes	characteristic
48	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
49	C₄×D₂₁₂	—	4	1	no	—
50	C₄×D₂₁₂	—	4	1	no	—
51	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
52	D₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
53	#13133179	—	2	2	no	—
54	#13133179	—	2	2	no	—
55	#13133176	—	4	1	no	—
56	#13133176	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
59	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
60	#13133160	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
61	#13133158	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
62	#13133157	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133151	—	2	1	no	—
65	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
66	#13133141	—	2	2	no	—
67	#13133138	—	2	2	no	—
68	#13133137	—	2	2	no	—
69	#13133137	—	2	2	no	—
70	#13133127	D₄	1	2	yes	—
71	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
73	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
74	#135×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
75	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#106×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
87	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
88	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
102	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
103	Q₁₆×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
105	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
106	D₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
114	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
115	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	D₈	1	2	yes	—
117	#11719921	—	4	2	no	—
118	#11719921	—	4	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
124	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	#11719917	—	2	2	no	—
127	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	D₄₂₄	—	2	4	no	—
129	D₄₂₄	—	2	2	no	—
130	D₄₂₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
133	#11719908	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
135	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	16	1	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	16	1	no	—
140	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
142	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	16	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	16	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
158	D₂₁₂	—	2	4	no	—
159	D₂₁₂	—	4	2	no	—
160	D₂₁₂	—	4	4	no	—
161	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
163	C₈×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
164	C₈×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
166	#88322	—	2	2	no	—
167	#33454	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
174	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
179	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
181	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
182	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
183	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
185	Dic₅₃	—	2	2	no	—
186	Dic₅₃	—	2	2	no	—
187	Dic₅₃	—	8	2	no	—
188	C₂×#509	—	53	1	no	—
189	#2951	—	53	1	no	—
190	#2948	—	53	1	no	—
191	#2177	—	53	2	no	—
192	#2175	—	53	2	no	—
193	C₄×SD₃₂	—	53	2	no	—
194	C₄×D₁₆	—	53	2	no	—
195	#2159	—	53	1	no	—
196	#2138	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
197	C₂×#357	—	53	1	no	—
198	#2108	—	53	1	no	—
199	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
200	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
201	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3415	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
204	D₅₃	—	8	4	no	—
205	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
207	#520	—	106	1	no	—
208	#518	—	106	1	no	—
209	#509	—	53	8	no	—
210	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
211	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
212	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
213	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#442	—	106	2	no	—
215	#440	—	106	2	no	—
216	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
217	C₄×D₈	—	53	2	no	—
218	C₄×D₈	—	53	2	no	—
219	C₄×D₈	—	53	2	no	—
220	#427	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×#107	—	53	1	no	—
222	#418	—	106	1	no	—
223	#417	—	106	1	no	—
224	#405	—	53	1	no	—
225	#367	—	53	2	no	—
226	#366	—	53	2	no	—
227	#358	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
228	#358	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
229	#357	—	53	2	no	—
230	#357	—	53	2	no	—
231	#357	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
232	#357	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
233	#346	—	53	2	no	—
234	C₄×C₁₆	—	53	2	no	—
235	C₅₃	#33454	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
236	C₂×#41	—	2	1	no	—
237	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
238	#135	—	2	2	no	—
239	#135	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
240	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
242	C₂×D₈	—	53	4	no	—
243	C₂×D₈	—	53	2	no	—
244	C₂×D₈	—	106	1	no	—
245	C₂×D₈	—	106	2	no	—
246	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
248	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
250	C₄×D₄	—	106	2	no	—
251	C₄×D₄	—	106	2	no	—
252	C₄×D₄	—	106	2	no	—
253	C₄×D₄	—	212	1	no	—
254	C₄×D₄	—	212	1	no	—
255	C₄×D₄	—	212	2	no	—
256	#117	—	2	1	no	—
257	#117	—	53	1	no	—
258	#117	—	212	1	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
261	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
262	SD₃₂	—	53	8	no	—
263	D₁₆	—	53	8	no	—
264	M₃₂	—	53	4	no	—
265	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
266	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
267	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	#107	—	53	2	no	—
270	#107	—	106	1	no	—
271	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
273	#106	—	2	1	no	—
274	#103	—	106	2	no	—
275	#102	—	106	2	no	—
276	#102	—	106	2	no	—
277	#102	—	106	2	no	—
278	#97	—	53	2	no	—
279	C₄×C₈	—	53	2	no	—
280	C₂⁴	—	212	1	no	—
281	#41	—	2	4	no	—
282	#41	—	4	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
284	C₂×D₄	—	2	1	no	—
285	C₂×D₄	—	4	1	no	—
286	C₂×D₄	—	106	4	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂×D₄	—	212	1	no	—
289	C₂×D₄	—	212	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
291	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
295	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	2	1	no	—
297	Q₁₆	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
298	SD₁₆	—	2	4	no	—
299	D₈	—	2	1	no	—
300	D₈	—	53	4	no	—
301	D₈	—	106	4	no	—
302	D₈	—	106	2	no	—
303	D₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	M₁₆	—	106	2	no	—
305	C₂×C₈	—	53	2	no	—
306	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
314	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
322	C₄²	—	4	1	no	—
323	C₄²	—	53	2	no	—
324	C₄²	—	212	2	no	—
325	C₁₆	—	2	1	no	—
326	C₁₆	—	2	1	no	—
327	C₁₆	—	53	4	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	848	1	no	—
330	C₂³	—	848	1	no	—
331	C₂³	—	212	4	no	—
332	C₂³	—	212	2	no	—
333	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	2	no	—
335	Q₈	—	4	1	no	—
336	D₄	—	2	2	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	4	1	no	—
339	D₄	—	106	4	no	—
340	D₄	—	212	2	no	—
341	D₄	—	212	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	1	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	1	no	—
345	C₂×C₄	—	4	1	no	—
346	C₂×C₄	—	53	2	no	—
347	C₂×C₄	—	53	2	no	—
348	C₂×C₄	—	848	2	no	—
349	C₂×C₄	—	848	2	no	—
350	C₂×C₄	—	848	2	no	—
351	C₂×C₄	—	848	1	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#13133238	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
357	C₈	—	106	2	no	—
358	C₈	#13133177	1	2	yes	—
359	C₈	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₈	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	8	1	no	—
365	C₂²	—	8	1	no	—
366	C₂²	—	848	4	no	—
367	C₂²	—	424	2	no	—
368	C₂²	—	424	2	no	—
369	C₂²	—	212	4	no	—
370	C₂²	#16810703	1	2	yes	—
371	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	8	1	no	—
374	C₄	—	8	1	no	—
375	C₄	—	106	2	no	—
376	C₄	—	106	2	no	—
377	C₄	—	424	2	no	—
378	C₄	#16810703	1	2	yes	—
379	C₄	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
380	C₄	C₂×#13133238	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	2	2	no	—
382	C₂	—	8	2	no	—
383	C₂	—	424	4	no	—
384	C₂	C₂×#16810703	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20287853	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20287858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator	C₈×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2138	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	C₂×#16811058	C₂
cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2138	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33454
LCS	G ▷ C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ #2138

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283591	C₂	semidirect
3. #20283566	C₂	semidirect
4. #20276588	C₂	semidirect
5. #20276582	C₂	semidirect
6. #20276564	C₂	semidirect
7. #20276559	C₂	semidirect
8. #20276504	C₂	semidirect
9. C₂×#16810425	C₂	semidirect
10. #20276311	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2138	C₂	semidirect
15. #16811058	C₄	semidirect
21. Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	semidirect
22. D₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
29. #16810450	C₂²	semidirect
30. #16810448	C₂²	semidirect
33. #16810398	C₂²	semidirect
34. C₁₆×Dic₅₃	C₂²	semidirect
38. C₅₃×#358	C₂²	semidirect
39. C₅₃×#358	C₂²	semidirect
40. C₅₃×#357	C₂²	semidirect
41. C₅₃×#357	C₂²	semidirect
45. C₂×D₄₂₄	C₂×C₄	semidirect
60. #13133160	C₂×C₄	semidirect
61. #13133158	C₂×C₄	semidirect
62. #13133157	C₂×C₄	semidirect
74. #135×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
196. #2138	D₅₃	semidirect
227. #358	C₂×D₅₃	semidirect
228. #358	C₂×D₅₃	semidirect
231. #357	C₂×D₅₃	semidirect
232. #357	C₂×D₅₃	semidirect
235. C₅₃	#33454	semidirect
239. #135	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811058	2
#20283591	2
#20283566	2
#20276588	2
#20276582	2
#20276564	2
#20276559	2
#20276504	2
C₂×#16810425	2
#20276311	2
C₅₃×#2138	2
#33454	53