Subgroups — #27537447

Order 13568.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811066	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283592	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20283584	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276587	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×Dic₄₂₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133162	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20276423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#16810428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811103	—	2	1	no	—
15	#16811100	—	2	1	no	—
16	#16811066	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×Dic₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810731	—	2	2	no	—
20	#16810725	—	2	2	no	—
21	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
22	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
23	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810633	—	2	1	no	—
28	#16810625	—	2	1	no	—
29	#16810451	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810449	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#346	C₂²	1	2	yes	—
41	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
43	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
44	#13133239	—	2	2	no	—
45	#13133239	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719913	—	2	1	no	—
52	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
56	#13133182	—	4	1	no	—
57	#13133182	—	4	1	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	#13133177	—	4	2	no	—
60	#13133176	—	2	1	no	—
61	#13133175	—	4	1	no	—
62	#13133173	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
64	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
65	Dic₄₂₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
66	#13133162	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
67	#13133151	—	2	1	no	—
68	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
69	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#13133149	—	2	1	no	—
72	#13133142	—	2	2	no	—
73	#13133142	—	2	2	no	—
74	#13133142	—	2	2	no	—
75	#13133139	—	2	2	no	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#117×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
79	M₃₂×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
80	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
85	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
90	#11719945	—	2	4	no	—
91	#11719945	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
106	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
111	#11719921	—	4	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	#11719919	—	4	2	no	—
117	#11719919	—	4	2	no	—
118	#11719919	—	4	2	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
123	Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
124	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
125	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
126	Dic₂₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	Dic₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	D₄₂₄	—	2	1	no	—
129	D₄₂₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	#11719913	—	2	4	no	—
131	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₁₆×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	16	1	no	—
150	D₂₁₂	—	2	2	no	—
151	D₂₁₂	—	4	1	no	—
152	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
155	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
156	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
161	C₈×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	#33455	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
174	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
176	Dic₅₃	—	4	4	no	—
177	Dic₅₃	—	4	2	no	—
178	Dic₅₃	—	8	2	no	—
179	Dic₅₃	—	8	1	no	—
180	Dic₅₃	—	8	1	no	—
181	C₂×#510	—	53	1	no	—
182	#2951	—	53	1	no	—
183	#2950	—	53	1	no	—
184	#2176	—	53	2	no	—
185	#2175	—	53	2	no	—
186	C₄×Q₃₂	—	53	2	no	—
187	C₄×SD₃₂	—	53	2	no	—
188	#2159	—	53	1	no	—
189	#2138	—	53	1	no	—
190	C₂×#358	—	53	1	no	—
191	#2108	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
193	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3417	1	1	yes	characteristic
196	D₅₃	—	8	2	no	—
197	C₂×#135	—	53	1	no	—
198	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
199	#520	—	106	1	no	—
200	#519	—	106	1	no	—
201	#510	—	53	8	no	—
202	C₂×Q₃₂	—	53	2	no	—
203	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
204	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#441	—	106	2	no	—
207	#440	—	106	2	no	—
208	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
209	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
210	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
211	C₄×D₈	—	53	2	no	—
212	#427	—	53	1	no	—
213	C₂×#107	—	53	1	no	—
214	#419	—	106	1	no	—
215	#417	—	106	1	no	—
216	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	#367	—	53	2	no	—
218	#366	—	53	2	no	—
219	#358	—	53	2	no	—
220	#358	—	53	2	no	—
221	#358	—	53	1	no	—
222	#358	—	53	1	no	—
223	#357	—	53	1	no	—
224	#357	—	53	1	no	—
225	#346	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	C₅₃	#33455	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
228	C₂×#41	—	106	1	no	—
229	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
230	#135	—	53	4	no	—
231	#135	—	106	2	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
233	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
234	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
235	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
236	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
237	C₂×SD₁₆	—	106	1	no	—
238	C₂×D₈	—	53	1	no	—
239	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
242	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
243	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
244	C₄×Q₈	—	212	1	no	—
245	C₄×Q₈	—	212	1	no	—
246	C₄×D₄	—	106	2	no	—
247	C₄×D₄	—	212	2	no	—
248	#117	—	106	1	no	—
249	#117	—	212	1	no	—
250	#117	—	212	2	no	—
251	#117	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
254	Q₃₂	—	53	8	no	—
255	SD₃₂	—	53	8	no	—
256	M₃₂	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
257	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
258	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
261	#107	—	53	1	no	—
262	#107	—	53	1	no	—
263	#107	—	53	2	no	—
264	#107	—	106	1	no	—
265	#106	—	106	1	no	—
266	#103	—	106	2	no	—
267	#103	—	106	2	no	—
268	#103	—	106	2	no	—
269	#102	—	106	2	no	—
270	#97	D₂₁₂	1	2	yes	—
271	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
272	#41	—	106	4	no	—
273	#41	—	212	2	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
276	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
278	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
279	C₂×D₄	—	106	1	no	—
280	C₂×D₄	—	212	1	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
285	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	53	4	no	—
287	Q₁₆	—	53	2	no	—
288	Q₁₆	—	106	4	no	—
289	Q₁₆	—	106	2	no	—
290	Q₁₆	—	106	1	no	—
291	SD₁₆	—	106	4	no	—
292	D₈	—	53	2	no	—
293	D₈	—	106	1	no	—
294	M₁₆	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
303	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
304	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
307	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
308	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
312	C₄²	—	212	1	no	—
313	C₄²	—	212	2	no	—
314	C₄²	—	212	2	no	—
315	C₄²	—	212	2	no	—
316	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
317	C₁₆	—	2	1	no	—
318	C₁₆	—	2	1	no	—
319	C₁₆	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
320	C₂³	—	212	1	no	—
321	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	106	2	no	—
323	Q₈	—	106	4	no	—
324	Q₈	—	212	2	no	—
325	Q₈	—	212	1	no	—
326	Q₈	—	212	4	no	—
327	D₄	—	106	2	no	—
328	D₄	—	212	4	no	—
329	D₄	—	212	1	no	—
330	C₂×C₄	—	848	2	no	—
331	C₂×C₄	—	848	1	no	—
332	C₂×C₄	—	212	1	no	—
333	C₂×C₄	—	212	1	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	1	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	—	212	4	no	—
339	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#13133239	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	2	2	no	—
346	C₈	C₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
347	C₈	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₈	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	424	1	no	—
352	C₂²	—	424	1	no	—
353	C₂²	—	212	2	no	—
354	C₂²	C₄×D₄₂₄	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	424	2	no	—
359	C₄	—	424	1	no	—
360	C₄	—	424	1	no	—
361	C₄	—	212	2	no	—
362	C₄	—	212	4	no	—
363	C₄	C₄×D₄₂₄	1	2	yes	—
364	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
365	C₄	C₂×#13133239	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	424	2	no	—
368	C₂	C₂×C₄×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20287863	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20287868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator	C₈×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2108	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	C₂×#13133239	C₂²
cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2108	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33455
LCS	G ▷ C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117 ◁ #405 ◁ #2108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20283584	C₂	semidirect
4. #20276587	C₂	semidirect
5. #20276581	C₂	semidirect
6. C₄×Dic₄₂₄	C₂	semidirect
7. C₄×#13133162	C₂	semidirect
8. #20276503	C₂	semidirect
10. C₂×#16810428	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2108	C₂	semidirect
16. #16811066	C₄	semidirect
48. C₂×Dic₂₁₂	C₂×C₄	semidirect
65. Dic₄₂₄	C₂×C₄	semidirect
66. #13133162	C₂×C₄	semidirect
79. M₃₂×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
191. #2108	D₅₃	semidirect
227. C₅₃	#33455	semidirect
256. M₃₂	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811066	2
#20283592	2
#20283584	2
#20276587	2
#20276581	2
C₄×Dic₄₂₄	2
C₄×#13133162	2
#20276503	2
#20276423	2
C₂×#16810428	2
C₅₃×#2108	2
#33455	53