Subgroups — #27537481

Order 13568.

674 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811053	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283591	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283589	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276588	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276583	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276570	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276564	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×#16810450	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20276428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811106	—	2	1	no	—
14	#16811104	—	2	1	no	—
15	#16811053	C₄	1	8	yes	complemented
16	C₂×#13133163	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133161	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133160	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#13133158	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810724	—	2	2	no	—
22	#16810722	—	2	2	no	—
23	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810717	C₂²	1	2	yes	—
25	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810705	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#13133151	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810624	—	2	1	no	—
29	#16810622	—	2	1	no	—
30	#16810578	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810450	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810450	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810398	C₂²	1	2	yes	—
36	C₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#358	C₂²	1	2	yes	—
41	C₅₃×#357	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
43	#13133239	—	2	2	no	—
44	#13133239	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#11719913	—	2	1	no	—
47	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#11719917	D₄	1	1	yes	characteristic
49	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133182	—	2	2	no	—
51	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
52	D₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
53	#13133179	—	2	2	no	—
54	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
55	#13133176	—	4	1	no	—
56	#13133176	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#13133175	—	4	1	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
59	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
60	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
61	#13133163	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	#13133161	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
63	#13133160	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
64	#13133158	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
65	C₂×#11719908	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#13133151	—	2	1	no	—
69	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
70	#13133141	—	2	2	no	—
71	#13133140	—	2	2	no	—
72	#13133138	—	2	2	no	—
73	#13133137	—	2	2	no	—
74	#13133127	D₄	1	2	yes	—
75	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
77	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
78	#135×C₅₃	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
79	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	M₃₂×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
86	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
87	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
89	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
99	#11719945	—	2	4	no	—
100	#11719945	—	4	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
102	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
105	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
106	Q₁₆×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
108	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
109	D₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²⋊Dic₅₃	D₈	1	2	yes	—
118	#11719921	—	4	2	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
123	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
124	#11719919	—	4	2	no	—
125	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
126	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	#11719917	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
131	Dic₂₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	D₄₂₄	—	2	1	no	—
133	D₄₂₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	#11719913	—	2	4	no	—
135	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
136	#11719908	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	#11719908	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
142	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
143	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	16	1	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	16	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	—	16	1	no	—
159	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
160	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
161	D₂₁₂	—	2	2	no	—
162	D₂₁₂	—	4	1	no	—
163	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
164	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
165	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
167	C₈×C₅₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
168	C₈×C₅₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
170	#88322	—	2	2	no	—
171	#33460	—	53	1	no	maximal, Sylow
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
177	C₂²×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
178	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
184	C₄×C₅₃	C₄×D₈	1	2	yes	—
185	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
187	Dic₅₃	—	2	2	no	—
188	Dic₅₃	—	2	2	no	—
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×#508	—	53	1	no	—
192	#2951	—	53	1	no	—
193	#2951	—	53	1	no	—
194	#2177	—	53	2	no	—
195	#2176	—	53	2	no	—
196	C₄×SD₃₂	—	53	2	no	—
197	C₄×SD₃₂	—	53	2	no	—
198	C₂×#367	—	53	1	no	—
199	#2139	—	53	1	no	—
200	#2139	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	#2108	—	53	1	no	—
202	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
203	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
204	C₂×C₅₃	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
207	D₅₃	—	8	2	no	—
208	C₂×#135	—	53	1	no	—
209	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#520	—	106	1	no	—
211	#520	—	106	1	no	—
212	#508	—	53	8	no	—
213	C₂×Q₃₂	—	53	1	no	—
214	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
215	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
216	C₂×D₁₆	—	53	1	no	—
217	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
219	#440	—	106	2	no	—
220	#440	—	106	2	no	—
221	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
222	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
223	C₄×D₈	—	53	2	no	—
224	C₄×D₈	—	53	2	no	—
225	C₂×#107	—	53	1	no	—
226	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	#417	—	106	1	no	—
228	#417	—	106	1	no	—
229	#405	—	53	1	no	—
230	#367	—	53	2	no	—
231	#367	—	53	2	no	—
232	#358	—	53	2	no	—
233	#358	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
234	#357	—	53	2	no	—
235	#357	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
236	#346	—	53	2	no	—
237	C₄×C₁₆	—	53	2	no	—
238	C₅₃	#33460	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂×#41	—	2	1	no	—
240	C₂×#41	—	106	1	no	—
241	#135	—	2	2	no	—
242	#135	—	53	4	no	—
243	#135	—	106	2	no	—
244	#135	C₄×D₅₃	1	4	yes	complemented
245	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
246	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	106	1	no	—
249	C₂×D₈	—	53	1	no	—
250	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
252	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
254	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
255	C₄×D₄	—	106	2	no	—
256	C₄×D₄	—	106	2	no	—
257	C₄×D₄	—	212	2	no	—
258	C₄×D₄	—	212	2	no	—
259	#117	—	53	1	no	—
260	#117	—	212	1	no	—
261	#117	—	212	1	no	—
262	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
266	Q₃₂	—	53	4	no	—
267	SD₃₂	—	53	4	no	—
268	SD₃₂	—	53	4	no	—
269	D₁₆	—	53	4	no	—
270	M₃₂	—	2	2	no	—
271	C₂×C₁₆	—	53	4	no	—
272	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
273	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
274	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
275	#107	—	2	1	no	—
276	#107	—	53	2	no	—
277	#107	—	106	1	no	—
278	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
279	#103	—	106	2	no	—
280	#103	—	106	2	no	—
281	#102	—	106	2	no	—
282	#102	—	106	2	no	—
283	#97	—	53	2	no	—
284	C₄×C₈	—	53	2	no	—
285	#41	—	2	4	no	—
286	#41	—	4	2	no	—
287	#41	—	106	4	no	—
288	#41	—	212	2	no	—
289	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
291	C₂×D₄	—	2	1	no	—
292	C₂×D₄	—	4	1	no	—
293	C₂×D₄	—	106	1	no	—
294	C₂×D₄	—	212	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
300	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
301	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	Q₁₆	—	2	1	no	—
303	Q₁₆	—	53	2	no	—
304	Q₁₆	—	106	1	no	—
305	Q₁₆	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
306	SD₁₆	—	2	4	no	—
307	SD₁₆	—	106	4	no	—
308	D₈	—	2	1	no	—
309	D₈	—	53	2	no	—
310	D₈	—	106	1	no	—
311	D₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	M₁₆	—	106	2	no	—
313	C₂×C₈	—	53	2	no	—
314	C₂×C₈	C₂×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
317	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
318	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
320	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
321	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
329	C₄²	—	53	2	no	—
330	C₄²	—	212	2	no	—
331	C₄²	—	212	2	no	—
332	C₁₆	—	2	2	no	—
333	C₁₆	—	53	2	no	—
334	C₁₆	—	53	2	no	—
335	C₂³	—	4	1	no	—
336	C₂³	—	212	1	no	—
337	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	Q₈	—	2	2	no	—
339	Q₈	—	4	1	no	—
340	Q₈	—	106	2	no	—
341	Q₈	—	212	1	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	1	no	—
345	D₄	—	106	2	no	—
346	D₄	—	212	4	no	—
347	D₄	—	212	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	1	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	16	1	no	—
352	C₂×C₄	—	53	2	no	—
353	C₂×C₄	—	53	2	no	—
354	C₂×C₄	—	848	2	no	—
355	C₂×C₄	—	848	2	no	—
356	C₂×C₄	—	848	1	no	—
357	C₂×C₄	—	212	2	no	—
358	C₂×C₄	—	212	1	no	—
359	C₂×C₄	—	212	4	no	—
360	C₂×C₄	#13133177	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#13133238	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
364	C₈	—	106	2	no	—
365	C₈	#13133177	1	2	yes	—
366	C₈	C₂²×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₈	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	4	2	no	—
371	C₂²	—	8	1	no	—
372	C₂²	—	8	1	no	—
373	C₂²	—	424	1	no	—
374	C₂²	—	424	1	no	—
375	C₂²	—	212	2	no	—
376	C₂²	#16810703	1	2	yes	—
377	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	8	2	no	—
380	C₄	—	106	2	no	—
381	C₄	—	106	2	no	—
382	C₄	—	424	2	no	—
383	C₄	—	212	2	no	—
384	C₄	#16810703	1	2	yes	—
385	C₄	C₂×#13133177	1	1	yes	characteristic
386	C₄	C₂×#13133238	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	8	2	no	—
389	C₂	—	424	2	no	—
390	C₂	C₂×#16810703	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20287860	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20287861	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator	C₈×C₅₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2139	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	C₂×#16811053	C₂
cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2139	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33460
LCS	G ▷ C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ #2139

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283591	C₂	semidirect
3. #20283589	C₂	semidirect
4. #20276588	C₂	semidirect
5. #20276583	C₂	semidirect
6. #20276570	C₂	semidirect
7. #20276564	C₂	semidirect
8. C₂×#16810450	C₂	semidirect
9. #20276428	C₂	semidirect
10. #20276314	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2139	C₂	semidirect
15. #16811053	C₄	semidirect
44. #13133239	C₂×C₄	semidirect
61. #13133163	C₂×C₄	semidirect
62. #13133161	C₂×C₄	semidirect
63. #13133160	C₂×C₄	semidirect
64. #13133158	C₂×C₄	semidirect
65. C₂×#11719908	C₂×C₄	semidirect
78. #135×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
200. #2139	D₅₃	semidirect
238. C₅₃	#33460	semidirect
244. #135	C₄×D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811053	2
#20283591	2
#20283589	2
#20276588	2
#20276583	2
#20276570	2
#20276564	2
C₂×#16810450	2
#20276428	2
#20276314	2
C₅₃×#2139	2
#33460	53