Subgroups — #27538398

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811063	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16811058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276777	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276770	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20276471	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#135×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133205	—	2	1	no	—
14	#16811063	—	2	4	no	—
15	#16811058	—	2	4	no	—
16	C₂×#13133163	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂×#13133161	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133157	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13133157	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16811007	—	2	2	no	—
23	#16811007	C₂²	1	4	yes	—
24	C₄⋊#11719908	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#16810426	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#16810423	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
29	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₄×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
31	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₅₃×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#416	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
42	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
47	#13133205	—	2	4	no	—
48	#13133205	—	4	1	no	—
49	#13133205	—	4	1	no	—
50	C₂×#11719921	—	4	2	no	—
51	#13133163	—	2	4	no	—
52	#13133161	—	2	4	no	—
53	#13133160	—	2	4	no	—
54	#13133158	—	2	4	no	—
55	#13133157	—	2	2	no	—
56	#13133157	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
60	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
61	#135×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₄×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
70	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
71	#117×C₅₃	—	4	1	no	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#106×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#103×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
81	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
82	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
99	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
100	Q₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
102	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
103	D₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
113	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
116	C₄²×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
117	C₄²×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	#11719921	—	4	4	no	—
120	#11719921	—	4	4	no	—
121	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
122	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
123	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
124	D₄₂₄	—	2	2	no	—
125	D₄₂₄	—	2	2	no	—
126	D₄₂₄	—	4	2	no	—
127	#11719913	—	4	8	no	—
128	#11719908	—	2	2	no	—
129	#11719908	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
135	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
137	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
153	D₂₁₂	—	4	2	no	—
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	8	2	no	—
156	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
161	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
163	#33584	—	53	1	no	maximal, Sylow
164	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	#459	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
171	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
176	C₄×C₅₃	#459	1	2	yes	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
179	Dic₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×#510	—	53	1	no	—
181	C₂×#509	—	53	1	no	—
182	C₂×#495	—	53	1	no	—
183	C₄×#135	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
184	#2211	—	53	4	no	—
185	#2210	—	53	4	no	—
186	#2150	—	53	1	no	—
187	#2141	—	53	1	no	—
188	#2140	—	53	1	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3414	1	2	yes	—
193	D₅₃	—	16	2	no	—
194	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
196	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
197	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
198	C₂×#124	—	106	1	no	—
199	C₄×#41	—	2	1	no	—
200	#510	—	106	4	no	—
201	#509	—	106	4	no	—
202	C₂×Q₃₂	—	53	2	no	—
203	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
204	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
205	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
206	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
207	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
208	#495	—	53	4	no	—
209	#495	—	106	2	no	—
210	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
211	C₄×SD₁₆	—	2	2	no	—
212	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
213	#427	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#416	—	2	1	no	—
215	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₁₆	—	53	4	no	—
217	#358	—	53	4	no	—
218	#357	—	53	4	no	—
219	C₅₃	#33584	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
220	C₂×#41	—	2	1	no	—
221	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
222	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
223	#135	—	2	2	no	—
224	#135	D₂₁₂	1	4	yes	—
225	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
229	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
233	C₂×D₈	—	53	2	no	—
234	C₂×D₈	—	106	2	no	—
235	C₂×D₈	—	106	2	no	—
236	C₂×D₈	—	106	1	no	—
237	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#124	—	106	4	no	—
241	#124	—	212	1	no	—
242	#124	—	212	1	no	—
243	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₄×D₄	—	2	2	no	—
245	C₄×D₄	—	4	2	no	—
246	#117	—	2	1	no	—
247	#117	—	4	1	no	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
249	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	Q₃₂	—	106	4	no	—
252	SD₃₂	—	106	4	no	—
253	SD₃₂	—	106	4	no	—
254	D₁₆	—	106	4	no	—
255	M₃₂	—	106	2	no	—
256	M₃₂	—	106	2	no	—
257	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
258	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
259	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
260	#106	—	2	1	no	—
261	#103	—	2	2	no	—
262	#102	—	2	2	no	—
263	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂⁴	—	212	1	no	—
266	#41	—	2	4	no	—
267	#41	—	4	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
272	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
273	C₂×D₄	—	2	1	no	—
274	C₂×D₄	—	4	1	no	—
275	C₂×D₄	—	106	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	2	no	—
277	C₂×D₄	—	212	1	no	—
278	C₂×D₄	—	212	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
282	C₂²×C₄	#11719922	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	Q₁₆	—	2	1	no	—
285	Q₁₆	—	106	2	no	—
286	Q₁₆	—	106	2	no	—
287	Q₁₆	—	212	2	no	—
288	Q₁₆	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
289	SD₁₆	—	2	4	no	—
290	SD₁₆	—	212	8	no	—
291	D₈	—	2	1	no	—
292	D₈	—	106	2	no	—
293	D₈	—	106	2	no	—
294	D₈	—	212	2	no	—
295	D₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
308	C₄²	—	4	1	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	#11719922	1	1	yes	characteristic
311	C₄²	#11719922	1	1	yes	characteristic
312	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₁₆	—	106	2	no	—
314	C₁₆	—	106	2	no	—
315	C₂³	—	4	1	no	—
316	C₂³	—	424	4	no	—
317	C₂³	—	424	2	no	—
318	C₂³	—	212	2	no	—
319	C₂³	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	2	no	—
321	Q₈	—	4	1	no	—
322	Q₈	—	424	2	no	—
323	Q₈	—	212	2	no	—
324	Q₈	—	212	2	no	—
325	D₄	—	2	2	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	1	no	—
328	D₄	—	424	2	no	—
329	D₄	—	212	2	no	—
330	D₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	424	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#13133242	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₈	—	2	2	no	—
345	C₈	#13133191	1	2	yes	—
346	C₈	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
347	C₈	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	848	4	no	—
352	C₂²	—	424	4	no	—
353	C₂²	—	424	2	no	—
354	C₂²	#16810818	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	8	2	no	—
360	C₄	—	424	2	no	—
361	C₄	#16810818	1	2	yes	—
362	C₄	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#13133242	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	2	no	—
365	C₂	—	8	2	no	—
366	C₂	—	848	2	no	—
367	C₂	C₂×#16810818	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#20287849	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#135×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	C₂×#16811058	C₂
hypercenter	C₄×#135	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33584
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ C₄×#135

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811063	C₂	semidirect
3. C₂×#16811007	C₂	semidirect
4. #20276777	C₂	semidirect
5. #20276770	C₂	semidirect
6. #20276471	C₂	semidirect
7. #20276434	C₂	semidirect
8. #20276430	C₂	semidirect
9. C₄×#135×C₅₃	C₂	semidirect
16. C₂×#13133163	C₂²	semidirect
17. C₂×#13133161	C₂²	semidirect
24. C₄⋊#11719908	C₂²	semidirect
25. #16810426	C₂²	semidirect
29. C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	semidirect
31. C₄×D₈×C₅₃	C₂²	semidirect
183. C₄×#135	D₅₃	semidirect
210. C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
212. C₄×D₈	C₂×D₅₃	semidirect
219. C₅₃	#33584	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811063	2
C₂×#16811058	2
C₂×#16811007	2
#20276777	2
#20276770	2
#20276471	2
#20276434	2
#20276430	2
C₄×#135×C₅₃	2
#33584	53