Subgroups — #27538407

Order 13568.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811059	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#13133158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20285201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276770	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276750	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20276474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276420	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2948	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133245	—	2	1	no	—
11	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811192	—	2	1	no	—
14	#16811059	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133161	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#13133158	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133158	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×#13133157	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16811012	—	2	2	no	—
22	#16811007	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#16811000	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₄⋊#11719908	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#16810426	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#16810423	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#16810423	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#518	—	2	1	no	—
30	C₅₃×#442	—	2	2	no	—
31	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	complemented
32	C₅₃×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#418	—	2	1	no	—
34	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	#13133245	—	4	4	no	—
38	#13133239	—	2	2	no	—
39	#13133239	—	2	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719913	—	2	1	no	—
42	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#13133214	—	2	2	no	—
50	#13133205	—	2	2	no	—
51	#13133192	—	4	2	no	—
52	#13133187	—	4	2	no	—
53	#13133161	—	2	4	no	—
54	#13133158	—	2	8	no	—
55	#13133158	—	2	4	no	—
56	#13133157	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
58	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
64	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₄×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
69	#117×C₅₃	—	2	1	no	—
70	#117×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
72	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	#106×C₅₃	—	2	1	no	—
74	#102×C₅₃	—	2	4	no	—
75	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	—	4	1	no	—
78	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
86	#11719945	—	4	2	no	—
87	#11719945	—	4	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
96	D₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	D₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	#11719921	—	4	4	no	—
113	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
114	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
115	D₄₂₄	—	2	2	no	—
116	D₄₂₄	—	2	1	no	—
117	D₄₂₄	—	2	2	no	—
118	D₄₂₄	—	2	1	no	—
119	D₄₂₄	—	4	4	no	—
120	D₄₂₄	—	4	2	no	—
121	#11719913	—	4	4	no	—
122	#11719913	—	4	2	no	—
123	#11719908	—	2	2	no	—
124	#11719908	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	16	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
133	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	16	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
145	D₂₁₂	—	4	2	no	—
146	D₂₁₂	—	4	1	no	—
147	D₂₁₂	—	4	2	no	—
148	D₂₁₂	—	4	1	no	—
149	D₂₁₂	—	8	2	no	—
150	D₂₁₂	—	16	4	no	—
151	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
156	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
158	#33585	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	#459	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₄×C₅₃	#459	1	2	yes	—
173	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
175	Dic₅₃	—	8	1	no	—
176	C₂×#509	—	53	1	no	—
177	C₂²×D₁₆	—	53	1	no	—
178	#3155	—	53	1	no	—
179	#2948	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
180	#2210	—	53	4	no	—
181	#2206	—	53	4	no	—
182	#2151	—	53	1	no	—
183	#2140	—	53	1	no	—
184	#2138	—	53	1	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
187	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3415	1	2	yes	—
189	D₅₃	—	16	1	no	—
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	1	no	—
192	C₂×#135	—	53	1	no	—
193	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
194	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	#535	—	106	1	no	—
196	#518	—	2	1	no	—
197	#509	—	106	4	no	—
198	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
199	C₂×D₁₆	—	53	4	no	—
200	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
201	C₂×D₁₆	—	106	4	no	—
202	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
203	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
204	#496	—	106	2	no	—
205	#495	—	53	2	no	—
206	#493	—	53	2	no	—
207	#442	—	2	2	no	—
208	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
209	#427	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#418	—	2	1	no	—
211	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₁₆	—	53	4	no	—
213	#358	—	53	2	no	—
214	#357	—	53	2	no	—
215	#357	—	53	4	no	—
216	C₅₃	#33585	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂×#41	—	106	1	no	—
218	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
220	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
221	#135	—	106	2	no	—
222	#135	—	106	2	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
224	C₂×SD₁₆	—	106	1	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×D₈	—	2	2	no	—
227	C₂×D₈	—	2	1	no	—
228	C₂×D₈	—	53	2	no	—
229	C₂×D₈	—	53	1	no	—
230	C₂×D₈	—	106	2	no	—
231	C₂×D₈	—	106	2	no	—
232	C₂×D₈	—	106	1	no	—
233	C₂×D₈	—	106	2	no	—
234	C₂×D₈	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
235	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×M₁₆	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#127	—	106	2	no	—
239	#124	—	106	2	no	—
240	#121	—	212	2	no	—
241	#120	—	212	2	no	—
242	C₄×D₄	—	2	4	no	—
243	C₄×D₄	—	4	2	no	—
244	#117	—	2	1	no	—
245	#117	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	SD₃₂	—	106	4	no	—
248	D₁₆	—	106	8	no	—
249	D₁₆	—	106	4	no	—
250	M₃₂	—	106	2	no	—
251	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
252	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
253	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
254	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
255	#106	—	2	1	no	—
256	#102	—	2	4	no	—
257	#97	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
258	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂⁴	—	4	1	no	—
260	C₂⁴	—	212	1	no	—
261	#41	—	212	2	no	—
262	#41	—	212	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	1	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂×D₄	—	106	2	no	—
269	C₂×D₄	—	106	1	no	—
270	C₂×D₄	—	212	1	no	—
271	C₂×D₄	—	212	2	no	—
272	C₂×D₄	—	212	4	no	—
273	C₂×D₄	—	212	1	no	—
274	C₂×D₄	—	212	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	106	1	no	—
279	Q₁₆	—	106	1	no	—
280	SD₁₆	—	212	4	no	—
281	SD₁₆	—	212	2	no	—
282	D₈	—	2	4	no	—
283	D₈	—	2	2	no	—
284	D₈	—	106	2	no	—
285	D₈	—	106	1	no	—
286	D₈	—	106	2	no	—
287	D₈	—	106	1	no	—
288	D₈	—	212	4	no	—
289	D₈	—	212	2	no	—
290	D₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
291	M₁₆	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	#11719922	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	#11719922	1	2	yes	—
303	C₄²	—	4	1	no	—
304	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
305	C₁₆	—	106	2	no	—
306	C₁₆	—	106	2	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	4	no	—
309	C₂³	—	16	2	no	—
310	C₂³	—	848	2	no	—
311	C₂³	—	424	2	no	—
312	C₂³	—	212	2	no	—
313	C₂³	—	212	1	no	—
314	C₂³	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	212	1	no	—
316	Q₈	—	212	1	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	2	no	—
320	D₄	—	848	4	no	—
321	D₄	—	424	2	no	—
322	D₄	—	424	2	no	—
323	D₄	—	212	2	no	—
324	D₄	—	212	1	no	—
325	D₄	—	212	1	no	—
326	D₄	—	212	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	16	4	no	—
329	C₂×C₄	—	424	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#13133242	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	#13133191	1	2	yes	—
338	C₈	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
339	C₈	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	16	4	no	—
344	C₂²	—	848	4	no	—
345	C₂²	—	424	2	no	—
346	C₂²	—	424	4	no	—
347	C₂²	—	424	1	no	—
348	C₂²	—	424	2	no	—
349	C₂²	#16810818	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	—	424	1	no	—
354	C₄	#16810818	1	2	yes	—
355	C₄	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×#13133242	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	8	4	no	—
359	C₂	—	848	2	no	—
360	C₂	—	848	1	no	—
361	C₂	C₂×#16810818	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20287854	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2948	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2948	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33585
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117 ◁ #405 ◁ #2948

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811059	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133158	C₂	semidirect
3. #20285201	C₂	semidirect
4. #20276770	C₂	semidirect
5. #20276750	C₂	semidirect
6. #20276474	C₂	semidirect
7. #20276430	C₂	semidirect
8. #20276420	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2948	C₂	semidirect
15. C₂×#13133161	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133158	C₂²	semidirect
22. #16811007	C₂²	semidirect
23. #16811000	C₂²	semidirect
24. C₄⋊#11719908	C₂²	semidirect
25. #16810426	C₂²	semidirect
26. #16810423	C₂²	semidirect
27. #16810423	C₂²	semidirect
31. C₄×D₈×C₅₃	C₂²	semidirect
63. C₂×D₈×C₅₃	D₄	semidirect
179. #2948	D₅₃	semidirect
208. C₄×D₈	C₂×D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#33585	semidirect
234. C₂×D₈	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811059	2
C₂²×#13133158	2
#20285201	2
#20276770	2
#20276750	2
#20276474	2
#20276430	2
#20276420	2
C₅₃×#2948	2
#33585	53