Subgroups — #27538408

Order 13568.

748 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811061	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×D₈₄₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20285201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20283568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276771	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20276751	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20276432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276423	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133245	—	2	1	no	—
11	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811192	—	2	1	no	—
15	#16811097	—	2	1	no	—
16	#16811061	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×D₈₄₈	—	2	4	no	—
19	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#16811012	—	2	2	no	—
22	#16811007	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#16811000	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#16810736	—	2	2	no	—
25	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810629	—	2	1	no	—
28	#16810428	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810425	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#16810425	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#11719945	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
38	#13133245	—	4	4	no	—
39	#13133239	—	2	2	no	—
40	#13133239	—	2	2	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#11719913	—	2	1	no	—
43	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
48	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
49	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
50	C₂×D₄₂₄	D₄	1	4	yes	complemented
51	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133214	—	2	2	no	—
55	#13133205	—	2	2	no	—
56	#13133192	—	4	2	no	—
57	#13133187	—	4	2	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
59	#13133179	—	4	2	no	—
60	#13133176	—	2	1	no	—
61	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
62	#13133162	—	2	4	no	—
63	D₈₄₈	—	2	8	no	—
64	D₈₄₈	—	2	4	no	—
65	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
66	#13133149	—	2	1	no	—
67	#13133139	—	2	4	no	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#117×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	M₃₂×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#97×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
78	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	1	no	—
81	#11719945	—	4	2	no	—
82	#11719945	—	4	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	#11719921	—	4	4	no	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
110	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
111	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
112	D₄₂₄	—	2	4	no	—
113	D₄₂₄	—	2	2	no	—
114	D₄₂₄	—	2	1	no	—
115	D₄₂₄	—	2	2	no	—
116	D₄₂₄	—	2	2	no	—
117	D₄₂₄	—	2	1	no	—
118	D₄₂₄	—	4	4	no	—
119	D₄₂₄	—	4	2	no	—
120	D₄₂₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	#11719913	—	4	4	no	—
122	#11719913	—	4	2	no	—
123	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	D₂₁₂	—	2	4	no	—
142	D₂₁₂	—	4	2	no	—
143	D₂₁₂	—	4	1	no	—
144	D₂₁₂	—	4	2	no	—
145	D₂₁₂	—	4	2	no	—
146	D₂₁₂	—	4	1	no	—
147	D₂₁₂	—	4	4	no	—
148	D₂₁₂	—	8	2	no	—
149	D₂₁₂	—	16	4	no	—
150	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
151	C₄×D₅₃	—	16	4	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
156	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
158	#33585	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	#459	1	2	yes	—
161	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
168	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
169	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
171	C₄×C₅₃	#459	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
174	Dic₅₃	—	8	2	no	—
175	Dic₅₃	—	8	1	no	—
176	C₂×#509	—	53	1	no	—
177	C₂²×D₁₆	—	53	1	no	—
178	#3155	—	53	1	no	—
179	#2948	—	53	1	no	—
180	#2210	—	53	4	no	—
181	#2206	—	53	4	no	—
182	#2151	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
183	#2140	—	53	1	no	—
184	#2138	—	53	1	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#3415	1	2	yes	—
188	D₅₃	—	8	4	no	—
189	D₅₃	—	16	1	no	—
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	106	1	no	—
192	C₂×#135	—	53	1	no	—
193	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
194	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
195	#535	—	106	1	no	—
196	#518	—	106	1	no	—
197	#509	—	106	4	no	—
198	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
199	C₂×D₁₆	—	53	4	no	—
200	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
201	C₂×D₁₆	—	106	4	no	—
202	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#496	—	106	2	no	—
205	#495	—	53	2	no	—
206	#493	—	53	2	no	—
207	#442	—	106	2	no	—
208	C₄×D₈	—	53	4	no	—
209	#427	—	53	1	no	—
210	#418	—	106	1	no	—
211	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	4	yes	complemented
213	#358	—	53	2	no	—
214	#357	—	53	2	no	—
215	#357	—	53	4	no	—
216	C₅₃	#33585	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂×#41	—	106	1	no	—
218	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
219	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
220	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
221	#135	—	106	2	no	—
222	#135	—	106	2	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
224	C₂×SD₁₆	—	106	1	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×D₈	—	53	4	no	—
227	C₂×D₈	—	53	2	no	—
228	C₂×D₈	—	53	2	no	—
229	C₂×D₈	—	53	1	no	—
230	C₂×D₈	—	106	1	no	—
231	C₂×D₈	—	106	1	no	—
232	C₂×D₈	—	106	2	no	—
233	C₂×D₈	—	106	2	no	—
234	C₂×D₈	—	106	2	no	—
235	C₂×D₈	—	106	2	no	—
236	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#127	—	106	2	no	—
239	#124	—	106	2	no	—
240	#121	—	212	2	no	—
241	#120	—	212	2	no	—
242	C₄×D₄	—	106	4	no	—
243	C₄×D₄	—	212	2	no	—
244	#117	—	106	1	no	—
245	#117	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
247	SD₃₂	—	106	4	no	—
248	D₁₆	—	106	8	no	—
249	D₁₆	—	106	4	no	—
250	M₃₂	—	2	2	no	—
251	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
252	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
254	#107	—	53	2	no	—
255	#106	—	106	1	no	—
256	#102	—	106	4	no	—
257	#97	D₂₁₂	1	2	yes	—
258	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂⁴	—	212	1	no	—
260	C₂⁴	—	212	1	no	—
261	#41	—	212	2	no	—
262	#41	—	212	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
264	C₂×D₄	—	106	4	no	—
265	C₂×D₄	—	106	2	no	—
266	C₂×D₄	—	106	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	1	no	—
268	C₂×D₄	—	212	1	no	—
269	C₂×D₄	—	212	2	no	—
270	C₂×D₄	—	212	4	no	—
271	C₂×D₄	—	212	1	no	—
272	C₂×D₄	—	212	1	no	—
273	C₂×D₄	—	212	2	no	—
274	C₂×D₄	—	212	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
277	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	106	1	no	—
279	Q₁₆	—	106	1	no	—
280	SD₁₆	—	212	4	no	—
281	SD₁₆	—	212	2	no	—
282	D₈	—	53	4	no	—
283	D₈	—	106	4	no	—
284	D₈	—	106	2	no	—
285	D₈	—	106	1	no	—
286	D₈	—	106	2	no	—
287	D₈	—	106	2	no	—
288	D₈	—	106	1	no	—
289	D₈	—	212	4	no	—
290	D₈	—	212	2	no	—
291	M₁₆	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
298	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
299	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
303	C₄²	—	212	1	no	—
304	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
305	C₁₆	—	2	2	no	—
306	C₁₆	—	2	2	no	—
307	C₂³	—	848	2	no	—
308	C₂³	—	848	2	no	—
309	C₂³	—	424	2	no	—
310	C₂³	—	212	4	no	—
311	C₂³	—	212	2	no	—
312	C₂³	—	212	1	no	—
313	C₂³	—	212	2	no	—
314	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
315	Q₈	—	212	1	no	—
316	Q₈	—	212	1	no	—
317	D₄	—	848	4	no	—
318	D₄	—	106	4	no	—
319	D₄	—	424	2	no	—
320	D₄	—	424	2	no	—
321	D₄	—	212	4	no	—
322	D₄	—	212	2	no	—
323	D₄	—	212	1	no	—
324	D₄	—	212	1	no	—
325	D₄	—	212	2	no	—
326	D₄	—	212	2	no	—
327	C₂×C₄	—	848	4	no	—
328	C₂×C₄	—	424	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#13133245	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	#13133192	1	2	yes	—
338	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₈	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	848	4	no	—
342	C₂²	—	848	4	no	—
343	C₂²	—	424	2	no	—
344	C₂²	—	424	4	no	—
345	C₂²	—	424	1	no	—
346	C₂²	—	424	2	no	—
347	C₂²	—	424	4	no	—
348	C₂²	—	212	4	no	—
349	C₂²	#16810819	1	2	yes	—
350	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	424	2	no	—
353	C₄	—	424	1	no	—
354	C₄	#16810819	1	2	yes	—
355	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×#13133245	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	2	no	—
358	C₂	—	848	2	no	—
359	C₂	—	848	1	no	—
360	C₂	—	424	4	no	—
361	C₂	C₂×#16810819	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20287856	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2151	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2151	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33585
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117 ◁ #405 ◁ #2151

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811061	C₂	semidirect
2. C₂²×D₈₄₈	C₂	semidirect
3. #20285201	C₂	semidirect
4. #20283568	C₂	semidirect
5. #20276771	C₂	semidirect
6. #20276751	C₂	semidirect
7. #20276432	C₂	semidirect
8. #20276423	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2151	C₂	semidirect
17. C₂×#13133162	C₂²	semidirect
20. C₂×D₈₄₈	C₂²	semidirect
22. #16811007	C₂²	semidirect
23. #16811000	C₂²	semidirect
25. C₄×D₄₂₄	C₂²	semidirect
28. #16810428	C₂²	semidirect
29. #16810425	C₂²	semidirect
30. #16810425	C₂²	semidirect
34. C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
50. C₂×D₄₂₄	D₄	semidirect
182. #2151	D₅₃	semidirect
212. C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
216. C₅₃	#33585	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811061	2
C₂²×D₈₄₈	2
#20285201	2
#20283568	2
#20276771	2
#20276751	2
#20276432	2
#20276423	2
C₅₃×#2151	2
#33585	53