Subgroups — #27538418

Order 13568.

716 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20285210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276768	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20276758	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20276475	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276422	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×C₅₃×#509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133247	—	2	1	no	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16811194	—	2	1	no	—
13	#16811098	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133161	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133161	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811014	—	2	2	no	—
18	#16811006	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#16811001	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#16810735	—	2	2	no	—
21	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810628	—	2	1	no	—
24	#16810578	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810441	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#16810428	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#16810427	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16810424	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#509	—	2	4	no	—
32	C₂×SD₃₂×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×D₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	#13133247	—	4	4	no	—
37	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719917	D₄	1	1	yes	characteristic
44	#13133215	—	2	2	no	—
45	#13133204	—	2	2	no	—
46	#13133198	—	4	2	no	—
47	#13133196	—	4	2	no	—
48	D₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	D₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
50	#13133176	—	2	1	no	—
51	#13133176	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
53	#13133161	—	2	8	no	—
54	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
56	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
57	#13133149	—	2	1	no	—
58	#13133138	—	2	4	no	—
59	#13133127	D₄	1	2	yes	—
60	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#41×C₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
63	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
64	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	SD₃₂×C₅₃	—	2	4	no	—
74	D₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
75	M₃₂×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	—	4	1	no	—
78	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
79	#41×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
95	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
96	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
97	SD₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
98	D₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
100	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
102	D₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	D₈	1	2	yes	—
111	#11719925	—	4	4	no	—
112	#11719923	—	4	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	2	yes	—
115	#11719919	—	4	4	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	#11719917	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
121	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
122	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
123	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
124	#11719908	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	16	2	no	—
129	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
130	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
132	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
136	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	16	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
152	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
153	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	#88322	—	2	2	no	—
156	#33586	—	53	1	no	maximal, Sylow
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	#459	1	2	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
166	C₄×C₅₃	#459	1	2	yes	—
167	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
169	Dic₅₃	—	2	4	no	—
170	Dic₅₃	—	8	2	no	—
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×#509	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×SD₃₂	—	53	1	no	—
174	#3156	—	53	1	no	—
175	#2948	—	53	1	no	—
176	#2210	—	53	4	no	—
177	#2208	—	53	4	no	—
178	#2151	—	53	1	no	—
179	#2141	—	53	1	no	—
180	#2138	—	53	1	no	—
181	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
182	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
183	C₂×C₅₃	—	16	1	no	—
184	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	#3416	1	2	yes	—
186	C₂×#137	—	106	1	no	—
187	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
189	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	#536	—	106	1	no	—
191	#518	—	106	1	no	—
192	#509	—	2	4	no	—
193	C₂×SD₃₂	—	53	4	no	—
194	C₂×SD₃₂	—	106	4	no	—
195	C₂×SD₃₂	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂×D₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
199	#497	—	106	2	no	—
200	#495	—	53	2	no	—
201	#494	—	53	2	no	—
202	#442	—	106	2	no	—
203	C₄×D₈	—	53	4	no	—
204	#427	—	53	1	no	—
205	#418	—	106	1	no	—
206	#405	—	53	1	no	—
207	C₄⋊C₁₆	—	53	4	no	—
208	#358	—	53	2	no	—
209	#358	—	53	4	no	—
210	#357	—	53	2	no	—
211	C₅₃	#33586	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂×#41	—	2	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
214	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
215	#137	—	212	4	no	—
216	#135	—	2	2	no	—
217	#135	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
220	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
223	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×D₈	—	2	1	no	—
227	C₂×D₈	—	2	2	no	—
228	C₂×D₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
234	#124	—	106	2	no	—
235	#123	—	212	2	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
237	C₄×D₄	—	106	4	no	—
238	C₄×D₄	—	212	2	no	—
239	#117	—	53	1	no	—
240	#117	—	106	1	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
242	SD₃₂	—	2	4	no	—
243	SD₃₂	—	106	8	no	—
244	D₁₆	—	2	4	no	—
245	M₃₂	—	2	2	no	—
246	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
247	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
248	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	#107	—	53	2	no	—
250	#106	—	106	1	no	—
251	#102	—	106	4	no	—
252	#97	—	53	2	no	—
253	C₄×C₈	—	53	2	no	—
254	C₂⁴	—	4	1	no	—
255	#41	—	4	2	no	—
256	#41	—	4	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
262	C₂×D₄	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×D₄	—	2	1	no	—
265	C₂×D₄	—	4	1	no	—
266	C₂×D₄	—	4	1	no	—
267	C₂×D₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
271	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	Q₁₆	—	2	1	no	—
273	Q₁₆	—	2	1	no	—
274	Q₁₆	—	106	2	no	—
275	Q₁₆	—	106	2	no	—
276	Q₁₆	—	212	4	no	—
277	Q₁₆	—	212	2	no	—
278	SD₁₆	—	4	2	no	—
279	SD₁₆	—	212	4	no	—
280	D₈	—	2	4	no	—
281	D₈	—	2	1	no	—
282	D₈	—	2	2	no	—
283	D₈	—	2	1	no	—
284	D₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
285	M₁₆	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	53	2	no	—
287	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
298	C₄²	—	53	2	no	—
299	C₄²	—	212	1	no	—
300	C₁₆	—	2	2	no	—
301	C₁₆	—	106	2	no	—
302	C₂³	—	4	2	no	—
303	C₂³	—	4	4	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	—	16	2	no	—
306	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	Q₈	—	4	1	no	—
308	Q₈	—	4	1	no	—
309	Q₈	—	424	2	no	—
310	Q₈	—	212	2	no	—
311	Q₈	—	212	2	no	—
312	D₄	—	2	4	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	1	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	4	1	no	—
317	D₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	53	4	no	—
321	C₂×C₄	—	848	4	no	—
322	C₂×C₄	—	424	2	no	—
323	C₂×C₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	2	no	—
325	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#13133241	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	106	2	no	—
330	C₈	#13133189	1	2	yes	—
331	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₈	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	8	1	no	—
338	C₂²	—	16	4	no	—
339	C₂²	#16810816	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	8	1	no	—
342	C₄	—	106	4	no	—
343	C₄	—	424	2	no	—
344	C₄	—	424	2	no	—
345	C₄	#16810816	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×#13133189	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#13133241	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	2	no	—
349	C₂	—	8	4	no	—
350	C₂	—	16	1	no	—
351	C₂	C₂×#16810816	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20287861	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×#509	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	C₂×#509	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33586
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂×#509

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133161	C₂	semidirect
2. #20285210	C₂	semidirect
3. #20283567	C₂	semidirect
4. #20276768	C₂	semidirect
5. #20276758	C₂	semidirect
6. #20276475	C₂	semidirect
7. #20276436	C₂	semidirect
8. #20276422	C₂	semidirect
18. #16811006	C₂²	semidirect
19. #16811001	C₂²	semidirect
25. #16810441	C₂²	semidirect
26. #16810428	C₂²	semidirect
27. #16810427	C₂²	semidirect
28. #16810424	C₂²	semidirect
211. C₅₃	#33586	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133161	2
#20285210	2
#20283567	2
#20276768	2
#20276758	2
#20276475	2
#20276436	2
#20276422	2
C₂×C₅₃×#509	2
#33586	53