Subgroups — #27538532

Order 13568.

710 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×C₁₆×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20284298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276803	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276802	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20276496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133240	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811136	—	2	2	no	—
15	#16811056	—	2	4	no	—
16	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₁₆×D₅₃	—	2	4	no	—
20	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810861	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810860	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810859	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810855	—	2	2	no	—
28	#16810854	—	2	2	no	—
29	#16810660	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810618	—	2	2	no	—
31	#16810450	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#16810449	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#16810427	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#16810425	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#16810423	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×Q₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#467	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₅₃×#358	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₄×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
43	#13133240	—	2	4	no	—
44	#13133240	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
46	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#13133202	—	4	2	no	—
55	#13133193	—	2	2	no	—
56	#13133192	—	2	2	no	—
57	#13133191	—	2	2	no	—
58	#13133187	—	4	2	no	—
59	#13133179	—	4	2	no	—
60	#13133177	—	4	2	no	—
61	#13133175	—	2	2	no	—
62	#13133160	—	2	4	no	—
63	D₈₄₈	—	2	2	no	—
64	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
65	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
68	C₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
69	C₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
70	C₁₆×D₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
71	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
72	#13133148	—	2	2	no	—
73	#13133141	—	2	2	no	—
74	#13133139	—	2	2	no	—
75	#13133137	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	Q₃₂×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	#103×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂³×D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
90	#11719949	—	4	4	no	—
91	#11719949	—	4	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
103	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
111	#11719924	—	4	4	no	—
112	#11719921	—	4	2	no	—
113	#11719921	—	4	2	no	—
114	#11719921	—	4	2	no	—
115	#11719921	—	4	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
117	#11719919	—	4	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	D₄₂₄	—	2	2	no	—
123	D₄₂₄	—	2	2	no	—
124	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
125	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
126	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
127	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₈×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₈×D₅₃	#41	1	2	yes	—
130	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	#11719908	—	2	1	no	—
133	#11719908	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
141	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
142	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	4	2	no	—
156	D₂₁₂	—	8	4	no	—
157	D₂₁₂	—	8	4	no	—
158	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
160	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
161	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₄×D₅₃	#121	1	2	yes	—
164	C₄×D₅₃	#135	1	2	yes	—
165	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
168	#88322	—	2	1	no	—
169	#88322	#121	1	2	yes	—
170	#33600	—	53	1	no	maximal, Sylow
171	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₅₃	#508	1	2	yes	complemented
174	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
176	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
177	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
178	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×D₅₃	#466	1	2	yes	—
184	C₂×D₅₃	#508	1	2	yes	complemented
185	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
187	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
188	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
189	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
190	Dic₅₃	—	2	1	no	—
191	Dic₅₃	—	8	2	no	—
192	Dic₅₃	#466	1	2	yes	—
193	C₂×#508	—	53	1	no	—
194	C₂³×C₁₆	—	53	1	no	—
195	#3050	—	53	2	no	—
196	#2217	—	53	2	no	—
197	#2217	—	53	2	no	—
198	#2216	—	53	1	no	—
199	#2216	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
200	#2215	—	53	1	no	—
201	#2215	—	53	1	no	—
202	#2158	—	53	1	no	—
203	#2138	—	53	2	no	—
204	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
205	C₂×C₅₃	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
208	D₅₃	—	2	2	no	—
209	D₅₃	—	2	2	no	—
210	D₅₃	—	16	2	no	—
211	C₂×#135	—	53	2	no	—
212	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
213	#525	—	106	2	no	—
214	#508	—	106	4	no	—
215	C₂×Q₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
216	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
217	C₂×D₁₆	—	53	1	no	—
218	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
219	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
220	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
221	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
222	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
223	C₂²×C₁₆	—	106	4	no	—
224	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#467	—	53	2	no	—
226	#467	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#466	—	53	2	no	—
228	#466	—	53	2	no	—
229	#465	—	106	2	no	—
230	#465	—	106	2	no	—
231	#427	—	53	2	no	—
232	#416	—	106	2	no	—
233	#367	—	53	2	no	—
234	#366	—	53	1	no	—
235	#366	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
236	#358	—	53	2	no	—
237	#358	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
238	#357	—	53	2	no	—
239	#357	—	53	2	no	—
240	C₅₃	#33600	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
241	C₂×#41	—	106	2	no	—
242	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
243	#135	—	106	4	no	—
244	#135	—	106	4	no	—
245	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
247	C₂×D₈	—	53	2	no	—
248	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
249	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
250	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
251	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
252	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
253	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
254	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	#123	—	212	2	no	—
257	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
258	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
259	#121	—	106	2	no	—
260	#121	—	106	2	no	—
261	#120	—	212	2	no	—
262	C₄×D₄	—	212	2	no	—
263	C₄×D₄	—	212	2	no	—
264	#117	—	106	2	no	—
265	Q₃₂	—	2	2	no	—
266	SD₃₂	—	106	4	no	—
267	D₁₆	—	106	2	no	—
268	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
269	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
270	C₂×C₁₆	—	53	4	no	—
271	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
272	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
273	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
274	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
275	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
276	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	#107	—	53	2	no	—
279	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
280	#106	—	106	2	no	—
281	#103	—	2	2	no	—
282	#103	—	106	2	no	—
283	#102	—	106	2	no	—
284	#102	—	106	2	no	—
285	C₂⁴	—	53	1	no	—
286	#41	—	212	4	no	—
287	#41	—	212	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
289	C₂×D₄	—	106	2	no	—
290	C₂×D₄	—	212	2	no	—
291	C₂×D₄	—	212	2	no	—
292	C₂×D₄	—	212	2	no	—
293	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
294	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
297	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
301	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	Q₁₆	—	2	2	no	—
303	Q₁₆	—	2	2	no	—
304	SD₁₆	—	212	4	no	—
305	D₈	—	106	2	no	—
306	D₈	—	106	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	1	no	—
308	C₂×C₈	—	2	1	no	—
309	C₂×C₈	—	53	1	no	—
310	C₂×C₈	—	53	2	no	—
311	C₂×C₈	—	53	2	no	—
312	C₂×C₈	—	53	1	no	—
313	C₂×C₈	—	106	2	no	—
314	C₂×C₈	—	106	2	no	—
315	C₂×C₈	—	106	2	no	—
316	C₂×C₈	—	106	1	no	—
317	C₂×C₈	—	106	1	no	—
318	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
329	C₄²	—	212	2	no	—
330	C₁₆	—	2	1	no	—
331	C₁₆	—	53	2	no	—
332	C₁₆	—	106	1	no	—
333	C₁₆	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂³	—	53	1	no	—
335	C₂³	—	53	1	no	—
336	C₂³	—	106	2	no	—
337	C₂³	—	106	2	no	—
338	C₂³	—	106	2	no	—
339	C₂³	—	212	2	no	—
340	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	4	2	no	—
342	Q₈	—	4	2	no	—
343	D₄	—	424	4	no	—
344	D₄	—	424	4	no	—
345	D₄	—	424	4	no	—
346	D₄	—	212	2	no	—
347	D₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	53	1	no	—
353	C₂×C₄	—	53	2	no	—
354	C₂×C₄	—	53	2	no	—
355	C₂×C₄	—	53	1	no	—
356	C₂×C₄	—	106	2	no	—
357	C₂×C₄	—	106	2	no	—
358	C₂×C₄	—	106	2	no	—
359	C₂×C₄	—	106	1	no	—
360	C₂×C₄	—	106	1	no	—
361	C₂×C₄	—	424	4	no	—
362	C₂×C₄	—	212	2	no	—
363	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	2	1	no	—
366	C₈	—	53	2	no	—
367	C₈	—	106	1	no	—
368	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
369	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	53	2	no	—
373	C₂²	—	53	2	no	—
374	C₂²	—	106	8	no	—
375	C₂²	—	106	1	no	—
376	C₂²	—	106	1	no	—
377	C₂²	—	106	1	no	—
378	C₂²	—	106	1	no	—
379	C₂²	—	424	2	no	—
380	C₂²	—	424	2	no	—
381	C₂²	—	424	2	no	—
382	C₂²	#16811056	1	2	yes	complemented
383	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	8	2	no	—
386	C₄	—	8	2	no	—
387	C₄	—	53	2	no	—
388	C₄	—	106	1	no	—
389	C₄	—	424	2	no	—
390	C₄	#121×D₅₃	1	1	yes	characteristic
391	C₄	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
392	C₂	—	2	2	no	—
393	C₂	—	848	2	no	—
394	C₂	—	106	2	no	—
395	C₂	—	106	2	no	—
396	C₂	#466×D₅₃	1	1	yes	characteristic
397	C₂	#508×D₅₃	1	1	yes	characteristic
398	C₂	C₂×#16811056	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2216	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2216	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33600
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ #2216

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811056	C₂	semidirect
2. C₂²×C₁₆×D₅₃	C₂	semidirect
3. #20284298	C₂	semidirect
4. #20276814	C₂	semidirect
5. #20276813	C₂	semidirect
6. #20276803	C₂	semidirect
7. #20276802	C₂	semidirect
8. #20276801	C₂	semidirect
9. #20276496	C₂	semidirect
10. #20276421	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2216	C₂	semidirect
16. C₂×#13133160	C₂²	semidirect
17. C₂×D₈₄₈	C₂²	semidirect
31. #16810450	C₂²	semidirect
32. #16810449	C₂²	semidirect
33. #16810427	C₂²	semidirect
34. #16810425	C₂²	semidirect
35. #16810423	C₂²	semidirect
36. C₂×Q₃₂×C₅₃	C₂²	semidirect
39. C₅₃×#366	C₂²	semidirect
40. C₅₃×#358	C₂²	semidirect
70. C₁₆×D₅₃	D₄	semidirect
173. C₂²×C₅₃	#508	semidirect
184. C₂×D₅₃	#508	semidirect
199. #2216	D₅₃	semidirect
215. C₂×Q₃₂	C₂×D₅₃	semidirect
235. #366	C₂×D₅₃	semidirect
237. #358	C₂×D₅₃	semidirect
240. C₅₃	#33600	semidirect
382. C₂²	#16811056	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811056	2
C₂²×C₁₆×D₅₃	2
#20284298	2
#20276814	2
#20276813	2
#20276803	2
#20276802	2
#20276801	2
#20276496	2
#20276421	2
C₅₃×#2216	2
#33600	53