Subgroups — #27538587

Order 13568.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₁₆×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#16811041	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20284358	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20276815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276799	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20276498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276429	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×D₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133223	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811189	—	2	2	no	—
15	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
17	D₁₆×D₅₃	—	2	4	no	—
18	#16811041	—	2	4	no	—
19	C₂×#13133156	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#13133156	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	C₂²×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
24	#16810875	—	2	2	no	—
25	#16810874	—	2	2	no	—
26	#16810860	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#16810859	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16810856	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810660	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810626	—	2	2	no	—
31	#16810451	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#16810448	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#16810425	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#16810424	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#16810423	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×D₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₅₃×#466	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₅₃×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₅₃×#357	C₂²	1	2	yes	complemented
41	C₂×#11719945	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×D₄×D₅₃	—	2	2	no	—
43	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
45	D₈×D₅₃	—	2	4	no	—
46	D₈×D₅₃	—	2	4	no	—
47	#13133223	—	2	2	no	—
48	#13133223	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719917	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#11719912	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#11719912	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#13133213	—	4	2	no	—
55	#13133203	—	4	2	no	—
56	#13133192	—	2	2	no	—
57	#13133191	—	2	2	no	—
58	#13133188	—	2	2	no	—
59	#13133187	—	4	2	no	—
60	#13133185	—	4	2	no	—
61	#13133175	—	2	2	no	—
62	D₈₄₈	—	2	2	no	—
63	#13133158	—	2	4	no	—
64	#13133156	—	2	2	no	—
65	#13133156	—	2	2	no	—
66	C₂×#11719908	—	2	2	no	—
67	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
70	C₁₆×D₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
71	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
72	#13133148	—	2	2	no	—
73	#13133139	—	2	2	no	—
74	#13133138	—	2	2	no	—
75	#13133137	—	2	2	no	—
76	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
79	D₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
80	M₃₂×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
84	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂³×D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₂²⋊D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
94	D₄×D₅₃	—	4	4	no	—
95	D₄×D₅₃	—	4	4	no	—
96	#11719945	—	2	2	no	—
97	#11719945	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	D₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×Dic₁₀₆	D₈	1	1	yes	characteristic
104	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
113	#11719922	—	4	4	no	—
114	#11719921	—	4	2	no	—
115	#11719921	—	4	2	no	—
116	#11719921	—	4	2	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	#11719917	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	D₄₂₄	—	2	2	no	—
123	D₄₂₄	—	2	2	no	—
124	#11719912	—	2	2	no	—
125	#11719912	—	2	2	no	—
126	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
127	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
128	C₈×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₈×D₅₃	#41	1	2	yes	—
130	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	#11719908	—	2	1	no	—
133	#11719908	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
142	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	D₄×C₅₃	—	16	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
153	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
154	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
158	D₂₁₂	—	2	2	no	—
159	D₂₁₂	—	4	2	no	—
160	D₂₁₂	—	4	2	no	—
161	D₂₁₂	—	16	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
163	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
164	C₄×D₅₃	#121	1	2	yes	—
165	C₄×D₅₃	#135	1	2	yes	—
166	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
167	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
168	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
170	#88322	—	2	1	no	—
171	#88322	#121	1	2	yes	—
172	#33607	—	53	1	no	maximal, Sylow
173	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
179	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	16	8	no	—
186	C₂×D₅₃	#466	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
188	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
189	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
191	Dic₅₃	—	2	1	no	—
192	Dic₅₃	—	8	2	no	—
193	Dic₅₃	#466	1	2	yes	—
194	C₂²×D₁₆	—	53	1	no	—
195	C₂×#504	—	53	1	no	—
196	#3058	—	53	2	no	—
197	#2218	—	53	1	no	—
198	#2218	—	53	1	no	—
199	#2218	—	53	1	no	—
200	#2218	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	#2215	—	53	2	no	—
202	#2215	—	53	2	no	—
203	#2158	—	53	1	no	—
204	#2140	—	53	2	no	—
205	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
207	C₂×C₅₃	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	#3415	1	2	yes	—
209	D₅₃	—	2	2	no	—
210	D₅₃	—	4	1	no	—
211	D₅₃	—	16	2	no	—
212	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
213	C₂×#131	—	53	1	no	—
214	#535	—	106	2	no	—
215	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
216	C₂×D₁₆	—	53	1	no	—
217	C₂×D₁₆	—	106	4	no	—
218	C₂×D₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	#504	—	106	4	no	—
220	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
221	C₂×M₃₂	—	53	1	no	—
222	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
223	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
224	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
225	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
226	#469	—	106	2	no	—
227	#469	—	106	2	no	—
228	#466	—	53	2	no	—
229	#466	—	53	2	no	—
230	#466	—	53	2	no	—
231	#466	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
232	#427	—	53	2	no	—
233	#418	—	106	2	no	—
234	#367	—	53	1	no	—
235	#367	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
236	#366	—	53	2	no	—
237	#357	—	53	2	no	—
238	#357	—	53	2	no	—
239	#357	—	53	2	no	—
240	#357	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
241	C₅₃	#33607	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
242	C₂×#41	—	53	1	no	—
243	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
244	C₂×D₈	—	53	2	no	—
245	C₂×D₈	—	106	4	no	—
246	C₂×D₈	—	106	4	no	—
247	C₂×D₈	—	106	2	no	—
248	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	#131	—	106	2	no	—
250	#131	—	106	2	no	—
251	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
252	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
253	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
254	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
255	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
256	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#127	—	212	2	no	—
258	#124	—	212	2	no	—
259	#121	—	2	2	no	—
260	#121	—	106	2	no	—
261	#121	—	106	2	no	—
262	#121	—	106	2	no	—
263	#120	—	212	2	no	—
264	#120	—	212	2	no	—
265	#117	—	106	2	no	—
266	D₁₆	—	2	2	no	—
267	D₁₆	—	106	4	no	—
268	D₁₆	—	106	2	no	—
269	M₃₂	—	2	2	no	—
270	M₃₂	—	106	2	no	—
271	M₃₂	—	106	2	no	—
272	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
273	C₂×C₁₆	—	53	4	no	—
274	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
275	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
276	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
277	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	#107	—	53	2	no	—
280	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
281	#106	—	106	2	no	—
282	#102	—	2	2	no	—
283	#102	—	106	2	no	—
284	#102	—	106	2	no	—
285	#102	—	106	2	no	—
286	C₂⁴	—	212	2	no	—
287	#41	—	106	2	no	—
288	#41	—	106	2	no	—
289	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
290	C₂×D₄	—	2	2	no	—
291	C₂×D₄	—	4	2	no	—
292	C₂×D₄	—	53	1	no	—
293	C₂×D₄	—	53	1	no	—
294	C₂×D₄	—	53	1	no	—
295	C₂×D₄	—	106	2	no	—
296	C₂×D₄	—	212	2	no	—
297	C₂×D₄	—	212	4	no	—
298	C₂×D₄	—	212	4	no	—
299	C₂×D₄	—	212	2	no	—
300	C₂×D₄	—	212	2	no	—
301	C₂×D₄	—	212	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
303	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
304	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	D₈	—	2	2	no	—
306	D₈	—	2	2	no	—
307	D₈	—	106	2	no	—
308	D₈	—	106	2	no	—
309	D₈	—	212	4	no	—
310	M₁₆	—	106	2	no	—
311	M₁₆	—	106	2	no	—
312	M₁₆	—	106	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	1	no	—
314	C₂×C₈	—	2	1	no	—
315	C₂×C₈	—	53	1	no	—
316	C₂×C₈	—	53	2	no	—
317	C₂×C₈	—	53	2	no	—
318	C₂×C₈	—	53	1	no	—
319	C₂×C₈	—	106	1	no	—
320	C₂×C₈	—	106	1	no	—
321	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
330	C₄²	—	212	2	no	—
331	C₁₆	—	2	1	no	—
332	C₁₆	—	53	2	no	—
333	C₁₆	—	106	1	no	—
334	C₁₆	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	53	1	no	—
337	C₂³	—	53	1	no	—
338	C₂³	—	848	2	no	—
339	C₂³	—	848	2	no	—
340	C₂³	—	424	4	no	—
341	C₂³	—	212	2	no	—
342	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	106	2	no	—
344	D₄	—	4	2	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	16	2	no	—
347	D₄	—	848	2	no	—
348	D₄	—	848	2	no	—
349	D₄	—	848	2	no	—
350	D₄	—	106	2	no	—
351	D₄	—	106	2	no	—
352	D₄	—	106	2	no	—
353	D₄	—	424	4	no	—
354	D₄	—	212	2	no	—
355	D₄	—	212	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	1	no	—
357	C₂×C₄	—	2	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	53	1	no	—
360	C₂×C₄	—	53	2	no	—
361	C₂×C₄	—	53	2	no	—
362	C₂×C₄	—	53	1	no	—
363	C₂×C₄	—	106	1	no	—
364	C₂×C₄	—	106	1	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
368	C₈	—	2	1	no	—
369	C₈	—	53	2	no	—
370	C₈	—	106	1	no	—
371	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	1	no	—
375	C₂²	—	8	2	no	—
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	53	2	no	—
379	C₂²	—	848	8	no	—
380	C₂²	—	106	2	no	—
381	C₂²	—	106	2	no	—
382	C₂²	—	106	1	no	—
383	C₂²	—	424	2	no	—
384	C₂²	—	424	2	no	—
385	C₂²	—	424	2	no	—
386	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	1	no	—
388	C₄	—	8	2	no	—
389	C₄	—	53	2	no	—
390	C₄	—	106	1	no	—
391	C₄	—	424	2	no	—
392	C₄	#121×D₅₃	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#135×D₅₃	1	1	yes	characteristic
394	C₂	—	4	1	no	—
395	C₂	—	16	2	no	—
396	C₂	—	848	2	no	—
397	C₂	—	106	2	no	—
398	C₂	—	212	1	no	—
399	C₂	#466×D₅₃	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20287855	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2218	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2218	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33607
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ #2218

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₁₆×D₅₃	C₂	semidirect
2. C₂×#16811041	C₂	semidirect
3. #20284358	C₂	semidirect
4. #20276819	C₂	semidirect
5. #20276818	C₂	semidirect
6. #20276815	C₂	semidirect
7. #20276800	C₂	semidirect
8. #20276799	C₂	semidirect
9. #20276498	C₂	semidirect
10. #20276429	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2218	C₂	semidirect
20. C₂×#13133156	C₂²	semidirect
21. C₂²×#11719908	C₂²	semidirect
23. C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	semidirect
26. #16810860	C₂²	semidirect
27. #16810859	C₂²	semidirect
28. #16810856	C₂²	semidirect
31. #16810451	C₂²	semidirect
32. #16810448	C₂²	semidirect
33. #16810425	C₂²	semidirect
34. #16810424	C₂²	semidirect
35. #16810423	C₂²	semidirect
37. C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	semidirect
38. C₅₃×#466	C₂²	semidirect
39. C₅₃×#367	C₂²	semidirect
40. C₅₃×#357	C₂²	semidirect
70. C₁₆×D₅₃	D₄	semidirect
200. #2218	D₅₃	semidirect
222. C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	semidirect
231. #466	C₂×D₅₃	semidirect
235. #367	C₂×D₅₃	semidirect
240. #357	C₂×D₅₃	semidirect
241. C₅₃	#33607	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₁₆×D₅₃	2
C₂×#16811041	2
#20284358	2
#20276819	2
#20276818	2
#20276815	2
#20276800	2
#20276799	2
#20276498	2
#20276429	2
C₅₃×#2218	2
#33607	53