Subgroups — #27539260

Order 13568.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285365	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20283568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276907	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276873	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276751	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276629	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×D₈₄₈	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#2164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16811228	—	2	1	no	—
12	#16811097	—	2	1	no	—
13	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811025	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	#16810988	—	2	1	no	—
18	#16810876	—	2	1	no	—
19	#16810859	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810736	—	2	1	no	—
21	#16810736	—	2	1	no	—
22	#16810736	—	2	1	no	—
23	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810629	—	2	1	no	—
28	#16810451	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810449	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810425	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#16810425	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₅₃×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
37	C₅₃×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
40	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
41	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
42	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
43	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
45	#13133214	—	2	1	no	—
46	#13133209	—	2	1	no	—
47	#13133202	—	4	2	no	—
48	#13133191	—	2	2	no	—
49	#13133190	—	4	2	no	—
50	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
53	#13133179	—	4	2	no	—
54	#13133176	—	2	1	no	—
55	C₂²⋊C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
56	D₈₄₈	—	2	4	no	—
57	D₈₄₈	—	2	4	no	—
58	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
59	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
60	#13133149	—	2	1	no	—
61	#13133149	—	2	1	no	—
62	#13133139	—	2	2	no	—
63	#13133139	—	2	2	no	—
64	#13133139	—	2	2	no	—
65	#13133139	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#117×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	#97×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#97×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
87	M₁₆×C₅₃	—	4	1	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
98	#11719921	—	4	2	no	—
99	#11719921	—	4	2	no	—
100	#11719921	—	4	2	no	—
101	#11719921	—	4	2	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	#11719919	—	4	2	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	D₄₂₄	—	2	4	no	—
107	D₄₂₄	—	2	2	no	—
108	D₄₂₄	—	2	2	no	—
109	D₄₂₄	—	2	2	no	—
110	D₄₂₄	—	4	2	no	—
111	D₄₂₄	#41	1	4	yes	—
112	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	16	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
128	D₂₁₂	—	2	4	no	—
129	D₂₁₂	—	4	4	no	—
130	D₂₁₂	—	4	2	no	—
131	D₂₁₂	—	4	2	no	—
132	D₂₁₂	—	4	2	no	—
133	D₂₁₂	—	16	2	no	—
134	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
135	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
136	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
137	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
140	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
141	#33682	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
151	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
157	Dic₅₃	—	8	2	no	—
158	Dic₅₃	—	8	2	no	—
159	#3176	—	53	1	no	—
160	#2948	—	53	1	no	—
161	#2234	—	53	2	no	—
162	#2228	—	53	2	no	—
163	#2206	—	53	2	no	—
164	#2184	—	53	2	no	—
165	#2177	—	53	2	no	—
166	C₄×D₁₆	—	53	2	no	—
167	#2164	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
168	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
169	C₂×C₅₃	#3100	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#3415	1	2	yes	—
171	D₅₃	—	8	4	no	—
172	D₅₃	—	16	2	no	—
173	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
174	#540	—	106	1	no	—
175	#518	—	106	1	no	—
176	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
177	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
178	#499	—	53	1	no	—
179	#493	—	53	1	no	—
180	#490	—	106	1	no	—
181	#469	—	106	1	no	—
182	#466	—	53	2	no	—
183	#442	—	106	1	no	—
184	#442	—	106	1	no	—
185	#442	—	106	1	no	—
186	C₄×D₈	—	53	2	no	—
187	C₄×D₈	—	53	2	no	—
188	C₄×D₈	—	53	2	no	—
189	#427	—	53	1	no	—
190	#418	—	106	1	no	—
191	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#367	—	53	2	no	—
193	#366	—	53	2	no	—
194	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
195	#357	—	53	2	no	—
196	#357	—	53	2	no	—
197	#357	—	53	2	no	—
198	#357	—	53	2	no	—
199	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#346	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
202	C₅₃	#33682	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
203	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
204	C₂×D₈	—	53	2	no	—
205	C₂×D₈	—	53	2	no	—
206	C₂×D₈	—	106	4	no	—
207	C₂×D₈	—	106	1	no	—
208	C₂×D₈	—	106	1	no	—
209	C₂×M₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	#127	—	106	1	no	—
212	#125	—	106	1	no	—
213	#123	—	212	2	no	—
214	#121	—	106	2	no	—
215	#121	—	212	2	no	—
216	C₄×D₄	—	106	2	no	—
217	C₄×D₄	—	106	2	no	—
218	C₄×D₄	—	106	2	no	—
219	C₄×D₄	—	212	2	no	—
220	#117	—	106	1	no	—
221	#117	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
223	D₁₆	—	106	4	no	—
224	D₁₆	—	106	4	no	—
225	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
227	#107	—	53	2	no	—
228	#107	—	53	2	no	—
229	#106	—	106	1	no	—
230	#106	—	106	1	no	—
231	#102	—	106	2	no	—
232	#102	—	106	2	no	—
233	#102	—	106	2	no	—
234	#102	—	106	2	no	—
235	#97	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
236	#97	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
237	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂⁴	—	212	1	no	—
240	C₂×D₄	—	106	4	no	—
241	C₂×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂×D₄	—	106	2	no	—
243	C₂×D₄	—	212	2	no	—
244	C₂×D₄	—	212	2	no	—
245	C₂×D₄	—	212	2	no	—
246	C₂×D₄	—	212	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
251	D₈	—	53	4	no	—
252	D₈	—	106	4	no	—
253	D₈	—	106	2	no	—
254	D₈	—	106	2	no	—
255	D₈	—	106	2	no	—
256	D₈	—	212	2	no	—
257	M₁₆	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
266	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
273	C₄²	—	212	1	no	—
274	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
276	C₁₆	—	2	2	no	—
277	C₁₆	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	848	2	no	—
279	C₂³	—	212	4	no	—
280	C₂³	—	212	2	no	—
281	C₂³	—	212	2	no	—
282	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
283	D₄	—	848	2	no	—
284	D₄	—	848	2	no	—
285	D₄	—	106	4	no	—
286	D₄	—	212	4	no	—
287	D₄	—	212	2	no	—
288	D₄	—	212	2	no	—
289	D₄	—	212	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	848	2	no	—
293	C₂×C₄	—	848	2	no	—
294	C₂×C₄	—	848	2	no	—
295	C₂×C₄	—	212	2	no	—
296	C₂×C₄	—	212	2	no	—
297	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	1	no	—
302	C₈	—	2	1	no	—
303	C₈	—	2	1	no	—
304	C₈	#41×D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂²	—	2	1	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	848	4	no	—
308	C₂²	—	424	2	no	—
309	C₂²	—	424	2	no	—
310	C₂²	—	424	2	no	—
311	C₂²	—	424	2	no	—
312	C₂²	—	424	2	no	—
313	C₂²	—	212	4	no	—
314	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
315	C₄	—	2	1	no	—
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	424	2	no	—
319	C₄	—	424	2	no	—
320	C₄	#16811135	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#16811423	1	1	yes	characteristic
322	C₂	—	4	1	no	—
323	C₂	—	848	2	no	—
324	C₂	—	424	4	no	—
325	C₂	#20284716	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20287856	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2164	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2164	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33682
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #117 ◁ #405 ◁ #2164

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285365	C₂	semidirect
2. #20283568	C₂	semidirect
3. #20276907	C₂	semidirect
4. #20276873	C₂	semidirect
5. #20276751	C₂	semidirect
6. #20276629	C₂	semidirect
7. #20276592	C₂	semidirect
8. C₄×D₈₄₈	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2164	C₂	semidirect
15. #16811025	C₂²	semidirect
16. #16811000	C₂²	semidirect
25. C₄×D₄₂₄	C₂²	semidirect
28. #16810451	C₂²	semidirect
29. #16810449	C₂²	semidirect
32. #16810425	C₂²	semidirect
33. #16810425	C₂²	semidirect
35. C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
37. C₅₃×#346	C₂²	semidirect
38. C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	semidirect
167. #2164	D₅₃	semidirect
194. C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
200. #346	C₂×D₅₃	semidirect
201. C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
202. C₅₃	#33682	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285365	2
#20283568	2
#20276907	2
#20276873	2
#20276751	2
#20276629	2
#20276592	2
C₄×D₈₄₈	2
C₅₃×#2164	2
#33682	53