Subgroups — #27539536

Order 13568.

834 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811066	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20285143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276986	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276981	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276976	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×M₃₂×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133239	—	2	1	no	—
10	C₂×#13133239	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811173	—	2	1	no	—
15	C₂×#13133205	—	2	1	no	—
16	#16811066	—	2	8	no	—
17	#16811061	—	2	8	no	—
18	C₂×Dic₄₂₄	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂×#13133162	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#13133162	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	4	yes	—
22	#16811007	—	2	1	no	—
23	#16811007	—	2	1	no	—
24	#16811007	—	2	1	no	—
25	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
26	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
27	#16811007	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#16810996	—	2	1	no	—
31	C₂×M₃₂×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#346	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	complemented
35	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
38	#13133239	—	2	4	no	—
39	#13133239	—	2	4	no	—
40	#13133239	—	4	4	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
51	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
52	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
53	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
54	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
56	#13133217	—	2	1	no	—
57	#13133214	—	2	1	no	—
58	#13133205	—	2	2	no	—
59	#13133205	—	2	2	no	—
60	#13133205	—	2	2	no	—
61	#13133205	—	4	2	no	—
62	#13133191	—	4	2	no	—
63	C₄×D₂₁₂	—	4	2	no	—
64	C₂×#11719921	—	4	2	no	—
65	Dic₄₂₄	—	2	8	no	—
66	#13133162	—	2	8	no	—
67	#13133162	—	2	8	no	—
68	D₈₄₈	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	M₃₂×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
74	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
83	#11719945	—	4	4	no	—
84	#11719945	—	4	4	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	D₈	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₄²×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	#11719921	—	4	4	no	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	#11719921	—	4	4	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
111	Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
112	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
113	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
114	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
115	D₄₂₄	—	2	2	no	—
116	D₄₂₄	—	2	4	no	—
117	D₄₂₄	—	2	2	no	—
118	D₄₂₄	—	4	2	no	—
119	D₄₂₄	—	4	2	no	—
120	#11719913	—	4	4	no	—
121	#11719913	—	4	4	no	—
122	#11719913	—	4	4	no	—
123	#11719913	—	4	4	no	—
124	C₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
141	D₂₁₂	—	4	2	no	—
142	D₂₁₂	—	4	2	no	—
143	D₂₁₂	—	4	2	no	—
144	D₂₁₂	—	4	2	no	—
145	D₂₁₂	—	8	4	no	—
146	D₂₁₂	—	8	2	no	—
147	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
153	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
154	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
155	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
156	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
157	#33719	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	#493	1	2	yes	—
160	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
165	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	#493	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	Dic₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×#510	—	53	2	no	—
174	C₂×#509	—	53	2	no	—
175	#3147	—	53	1	no	—
176	C₂×#495	—	53	1	no	—
177	#2251	—	53	2	no	—
178	#2250	—	53	2	no	—
179	#2249	—	53	4	no	—
180	C₄×M₃₂	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
181	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
182	C₂×C₅₃	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#3414	1	2	yes	—
184	D₅₃	—	16	2	no	—
185	D₅₃	—	16	2	no	—
186	C₂×#135	—	53	2	no	—
187	C₂×#135	—	106	1	no	—
188	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
189	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
190	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
191	#532	—	106	1	no	—
192	C₂×#124	—	106	1	no	—
193	#510	—	106	8	no	—
194	#509	—	106	8	no	—
195	C₂×Q₃₂	—	53	4	no	—
196	C₂×SD₃₂	—	53	4	no	—
197	C₂×SD₃₂	—	53	4	no	—
198	C₂×D₁₆	—	53	4	no	—
199	C₂×M₃₂	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#495	—	53	2	no	—
201	#495	—	53	2	no	—
202	#495	—	53	2	no	—
203	#495	—	106	1	no	—
204	#495	—	106	1	no	—
205	#495	—	106	1	no	—
206	#494	—	53	1	no	—
207	#493	—	53	1	no	—
208	#492	—	106	1	no	—
209	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#346	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
211	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
212	C₅₃	#33719	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂×#41	—	106	2	no	—
214	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
215	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
216	#135	—	106	4	no	—
217	#135	—	106	4	no	—
218	#135	—	212	4	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
220	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
224	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
229	C₂×D₈	—	53	2	no	—
230	C₂×D₈	—	53	2	no	—
231	C₂×D₈	—	106	4	no	—
232	C₂×D₈	—	106	1	no	—
233	C₂×D₈	—	106	1	no	—
234	C₂²×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
237	#127	—	106	1	no	—
238	#124	—	106	2	no	—
239	#124	—	106	2	no	—
240	#124	—	106	2	no	—
241	#124	—	212	2	no	—
242	#121	—	212	2	no	—
243	C₄×D₄	—	212	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
245	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
246	Q₃₂	—	106	8	no	—
247	SD₃₂	—	106	8	no	—
248	SD₃₂	—	106	8	no	—
249	D₁₆	—	106	8	no	—
250	M₃₂	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
251	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	C₄×C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
254	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂⁴	—	212	1	no	—
257	#41	—	212	4	no	—
258	#41	—	212	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
264	C₂×D₄	—	106	2	no	—
265	C₂×D₄	—	106	2	no	—
266	C₂×D₄	—	212	2	no	—
267	C₂×D₄	—	212	2	no	—
268	C₂×D₄	—	212	2	no	—
269	C₂×D₄	—	212	1	no	—
270	C₂×D₄	—	212	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
273	C₂²×C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
275	Q₁₆	—	106	2	no	—
276	Q₁₆	—	106	4	no	—
277	Q₁₆	—	106	2	no	—
278	Q₁₆	—	212	2	no	—
279	Q₁₆	—	212	2	no	—
280	SD₁₆	—	212	4	no	—
281	SD₁₆	—	212	4	no	—
282	SD₁₆	—	212	4	no	—
283	SD₁₆	—	212	4	no	—
284	D₈	—	106	2	no	—
285	D₈	—	106	4	no	—
286	D₈	—	106	2	no	—
287	D₈	—	212	2	no	—
288	D₈	—	212	2	no	—
289	C₂×C₈	D₄₂₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
299	C₄²	D₄₂₄	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
302	C₁₆	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
303	C₂³	—	424	4	no	—
304	C₂³	—	424	2	no	—
305	C₂³	—	212	2	no	—
306	C₂³	—	212	2	no	—
307	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	424	2	no	—
309	Q₈	—	212	2	no	—
310	Q₈	—	212	2	no	—
311	Q₈	—	212	2	no	—
312	Q₈	—	212	2	no	—
313	D₄	—	424	4	no	—
314	D₄	—	424	4	no	—
315	D₄	—	424	2	no	—
316	D₄	—	212	2	no	—
317	D₄	—	212	2	no	—
318	D₄	—	212	2	no	—
319	D₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	424	2	no	—
322	C₂×C₄	—	424	4	no	—
323	C₂×C₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	2	no	—
325	C₂×C₄	#13133214	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#13133214	1	2	yes	—
332	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
333	C₈	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
334	C₈	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	848	4	no	—
337	C₂²	—	424	4	no	—
338	C₂²	—	424	4	no	—
339	C₂²	—	424	2	no	—
340	C₂²	—	424	2	no	—
341	C₂²	#16811000	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	424	2	no	—
346	C₄	—	424	2	no	—
347	C₄	#16811000	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
349	C₄	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	—	848	2	no	—
352	C₂	—	848	2	no	—
353	C₂	C₂×#16811000	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20287851	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×M₃₂×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	C₄×M₃₂	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33719
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ C₄×M₃₂

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811066	C₂	semidirect
2. C₂×#16811061	C₂	semidirect
3. #20285143	C₂	semidirect
4. C₂×#16811007	C₂	semidirect
5. #20276986	C₂	semidirect
6. #20276981	C₂	semidirect
7. #20276976	C₂	semidirect
8. C₄×M₃₂×C₅₃	C₂	semidirect
18. C₂×Dic₄₂₄	C₂²	semidirect
20. C₂×#13133162	C₂²	semidirect
27. #16811007	C₂²	semidirect
28. #16811003	C₂²	semidirect
29. #16811000	C₂²	semidirect
33. C₅₃×#346	C₂²	semidirect
34. C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	semidirect
72. M₃₂×C₅₃	D₄	semidirect
180. C₄×M₃₂	D₅₃	semidirect
210. #346	C₂×D₅₃	semidirect
211. C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#33719	semidirect
250. M₃₂	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811066	2
C₂×#16811061	2
#20285143	2
C₂×#16811007	2
#20276986	2
#20276981	2
#20276976	2
C₄×M₃₂×C₅₃	2
#33719	53