Subgroups — #27539538

Order 13568.

834 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811063	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276984	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276979	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276974	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133157	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#11719913	—	2	1	no	—
11	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133205	—	2	1	no	—
13	#16811063	—	2	8	no	—
14	#16811058	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133163	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂×#13133161	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#13133160	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133158	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133157	C₂²	1	2	yes	—
20	#16811007	—	2	1	no	—
21	#16811007	—	2	1	no	—
22	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
23	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810399	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₄×#11719908	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#135×C₅₃	—	2	1	no	—
27	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#532	—	2	1	no	—
29	C₅₃×#495	—	2	1	no	—
30	C₅₃×#495	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₅₃×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₅₃×#492	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133205	—	2	2	no	—
47	#13133205	—	2	2	no	—
48	#13133205	—	4	2	no	—
49	C₂×#11719921	—	4	2	no	—
50	#13133163	—	2	8	no	—
51	#13133161	—	2	8	no	—
52	#13133160	—	2	8	no	—
53	#13133158	—	2	8	no	—
54	#13133157	D₄	1	8	yes	complemented
55	C₂×#11719908	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
57	#135×C₅₃	—	2	4	no	—
58	#135×C₅₃	—	2	4	no	—
59	#135×C₅₃	—	4	4	no	—
60	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
69	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
70	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#121×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₄×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂³×D₅₃	—	4	1	no	—
79	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
80	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	—	4	1	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
97	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
98	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
99	Q₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
100	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
101	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
102	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	D₈	1	4	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	#11719921	—	4	4	no	—
117	#11719921	—	4	4	no	—
118	Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
119	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
120	D₄₂₄	—	2	4	no	—
121	D₄₂₄	—	4	2	no	—
122	#11719913	—	4	4	no	—
123	#11719913	—	4	4	no	—
124	#11719908	C₂×D₄	1	8	yes	—
125	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
135	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
147	D₂₁₂	—	4	2	no	—
148	D₂₁₂	—	4	2	no	—
149	D₂₁₂	—	8	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
153	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
154	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
155	C₈×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
156	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
157	#33719	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	#493	1	2	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
165	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₄×C₅₃	#493	1	2	yes	—
170	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
172	Dic₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂×#510	—	53	2	no	—
174	C₂×#509	—	53	2	no	—
175	#3147	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
176	C₂×#495	—	53	1	no	—
177	#2251	—	53	2	no	—
178	#2250	—	53	2	no	—
179	#2249	—	53	4	no	—
180	C₄×M₃₂	—	53	1	no	—
181	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
182	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
183	C₂×C₅₃	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#3414	1	2	yes	—
185	D₅₃	—	16	2	no	—
186	C₂×#135	—	2	1	no	—
187	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
189	C₂²×SD₁₆	—	106	1	no	—
190	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
191	#532	—	2	1	no	—
192	C₂×#124	—	106	1	no	—
193	#510	—	106	8	no	—
194	#509	—	106	8	no	—
195	C₂×Q₃₂	—	53	4	no	—
196	C₂×SD₃₂	—	53	4	no	—
197	C₂×SD₃₂	—	53	4	no	—
198	C₂×D₁₆	—	53	4	no	—
199	C₂×M₃₂	—	53	2	no	—
200	#495	—	2	1	no	—
201	#495	—	53	2	no	—
202	#495	—	53	2	no	—
203	#495	—	106	1	no	—
204	#495	—	106	1	no	—
205	#495	C₂×D₅₃	1	2	yes	complemented
206	#494	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
207	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
208	#492	—	2	1	no	—
209	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#346	—	53	2	no	—
211	C₄×C₁₆	—	53	2	no	—
212	C₅₃	#33719	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
213	C₂×#41	—	2	2	no	—
214	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
215	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
216	#135	—	2	4	no	—
217	#135	—	2	4	no	—
218	#135	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
220	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
223	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
225	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
226	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
227	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
228	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
229	C₂×D₈	—	2	1	no	—
230	C₂×D₈	—	53	2	no	—
231	C₂×D₈	—	106	4	no	—
232	C₂×D₈	—	106	1	no	—
233	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
237	#127	—	2	1	no	—
238	#124	—	2	2	no	—
239	#124	—	106	2	no	—
240	#124	—	106	2	no	—
241	#124	—	212	2	no	—
242	#121	—	4	2	no	—
243	C₄×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
245	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	Q₃₂	—	106	8	no	—
247	SD₃₂	—	106	8	no	—
248	SD₃₂	—	106	8	no	—
249	D₁₆	—	106	8	no	—
250	M₃₂	—	53	8	no	—
251	C₂×C₁₆	—	53	4	no	—
252	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂⁴	—	212	1	no	—
257	#41	—	4	4	no	—
258	#41	—	4	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
264	C₂×D₄	—	2	2	no	—
265	C₂×D₄	—	4	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂×D₄	—	212	2	no	—
269	C₂×D₄	—	212	1	no	—
270	C₂×D₄	—	212	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
273	C₂²×C₄	#11719922	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	Q₁₆	—	2	2	no	—
276	Q₁₆	—	2	2	no	—
277	Q₁₆	—	4	2	no	—
278	Q₁₆	—	106	4	no	—
279	Q₁₆	—	212	2	no	—
280	SD₁₆	—	4	4	no	—
281	SD₁₆	—	4	4	no	—
282	SD₁₆	—	212	4	no	—
283	SD₁₆	—	212	4	no	—
284	D₈	—	2	2	no	—
285	D₈	—	2	2	no	—
286	D₈	—	4	2	no	—
287	D₈	—	106	4	no	—
288	D₈	—	212	2	no	—
289	C₂×C₈	#11719922	1	4	yes	—
290	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
299	C₄²	#11719922	1	2	yes	—
300	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₁₆	—	53	8	no	—
303	C₂³	—	4	2	no	—
304	C₂³	—	424	4	no	—
305	C₂³	—	424	2	no	—
306	C₂³	—	212	2	no	—
307	C₂³	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	4	2	no	—
309	Q₈	—	4	2	no	—
310	Q₈	—	424	2	no	—
311	Q₈	—	212	2	no	—
312	Q₈	—	212	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	D₄	—	8	4	no	—
317	D₄	—	424	2	no	—
318	D₄	—	212	2	no	—
319	D₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	424	2	no	—
324	C₂×C₄	—	212	2	no	—
325	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#13133213	1	2	yes	—
332	C₈	C₂×#11719922	1	2	yes	—
333	C₈	C₂×#11719922	1	2	yes	—
334	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	8	4	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	848	4	no	—
339	C₂²	—	424	4	no	—
340	C₂²	—	424	2	no	—
341	C₂²	#16810999	1	2	yes	—
342	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	424	2	no	—
347	C₄	#16810999	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
349	C₄	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	—	16	2	no	—
352	C₂	—	848	2	no	—
353	C₂	C₂×#16810999	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20287849	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3147	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#3147	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33719
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×C₈ ◁ #3147

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811063	C₂	semidirect
2. C₂×#16811058	C₂	semidirect
3. C₂×#16811007	C₂	semidirect
4. #20276984	C₂	semidirect
5. #20276979	C₂	semidirect
6. #20276974	C₂	semidirect
7. C₄×#13133157	C₂	semidirect
8. C₅₃×#3147	C₂	semidirect
15. C₂×#13133163	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133161	C₂²	semidirect
24. #16810399	C₂²	semidirect
25. C₄×#11719908	C₂²	semidirect
30. C₅₃×#495	C₂²	semidirect
31. C₅₃×#494	C₂²	semidirect
32. C₅₃×#493	C₂²	semidirect
54. #13133157	D₄	semidirect
175. #3147	D₅₃	semidirect
205. #495	C₂×D₅₃	semidirect
206. #494	C₂×D₅₃	semidirect
207. #493	C₂×D₅₃	semidirect
212. C₅₃	#33719	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811063	2
C₂×#16811058	2
C₂×#16811007	2
#20276984	2
#20276979	2
#20276974	2
C₄×#13133157	2
C₅₃×#3147	2
#33719	53