Subgroups — #27540824

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 392 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811056	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20286469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20276963	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276801	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20276753	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	Q₃₂×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₁₆×C₂²⋊D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×C₅₃×#508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133240	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811292	—	2	2	no	—
14	#16811056	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810998	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810859	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810856	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810821	—	2	2	no	—
23	#16810768	—	2	2	no	—
24	#16810767	—	2	2	no	—
25	Q₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₈×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810449	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810441	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810427	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810424	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²⋊#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810402	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#508	—	2	4	no	—
37	C₂×Q₃₂×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×SD₃₂×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×D₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
42	#13133240	—	2	4	no	—
43	#13133240	—	4	2	no	—
44	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
47	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#13133213	—	2	2	no	—
49	#13133213	—	4	2	no	—
50	#13133191	—	2	2	no	—
51	#13133191	—	4	2	no	—
52	#13133188	—	2	2	no	—
53	#13133188	—	4	2	no	—
54	Q₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
55	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
56	C₄×C₂²⋊D₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#13133160	—	2	4	no	—
58	D₈₄₈	—	2	2	no	—
59	#13133158	—	4	2	no	—
60	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₁₆×D₅₃	—	2	2	no	—
63	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
64	#13133146	D₄	1	1	yes	characteristic
65	#13133141	—	2	2	no	—
66	#13133139	—	2	2	no	—
67	#13133138	—	2	2	no	—
68	C₂²⋊#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#13133129	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#135×C₅₃	—	2	4	no	—
73	#135×C₅₃	—	4	2	no	—
74	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	Q₃₂×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
79	SD₃₂×C₅₃	—	2	4	no	—
80	D₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
85	#41×C₅₃	—	8	2	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊D₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
96	#11719949	—	4	4	no	—
97	#11719949	—	8	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
103	Q₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
105	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
113	#11719924	—	4	4	no	—
114	#11719922	—	8	2	no	—
115	#11719921	—	4	2	no	—
116	#11719921	D₈	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	#11719919	D₈	1	1	yes	characteristic
120	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
121	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	D₄₂₄	—	2	2	no	—
125	D₄₂₄	—	2	2	no	—
126	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
127	C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
128	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	#11719908	—	2	1	no	—
131	#11719908	—	2	1	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
137	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
149	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
150	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
151	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
156	D₂₁₂	—	4	2	no	—
157	D₂₁₂	—	4	2	no	—
158	D₂₁₂	—	8	4	no	—
159	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
160	C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
161	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
162	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
163	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
165	#88322	—	2	1	no	—
166	#88322	—	2	1	no	—
167	#33853	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
173	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
174	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
176	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
177	C₂×D₅₃	—	2	1	no	—
178	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
182	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
183	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
184	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
185	Dic₅₃	—	2	1	no	—
186	Dic₅₃	—	2	1	no	—
187	Dic₅₃	—	8	2	no	—
188	Dic₅₃	#508	1	2	yes	complemented
189	C₂×#508	—	53	1	no	—
190	C₂×#508	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	#3287	—	53	2	no	—
192	#2246	—	53	1	no	—
193	#2215	—	53	1	no	—
194	#2215	—	53	1	no	—
195	#2207	—	53	2	no	—
196	#2186	—	53	2	no	—
197	#2186	—	53	2	no	—
198	C₄×Q₃₂	—	53	1	no	—
199	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
200	C₂×C₅₃	—	4	1	no	—
201	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
202	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₅₃	#3415	1	1	yes	characteristic
205	D₅₃	—	4	1	no	—
206	D₅₃	—	16	2	no	—
207	C₂×#135	—	53	2	no	—
208	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	#550	—	106	2	no	—
210	#508	—	2	4	no	—
211	#508	—	106	4	no	—
212	C₂×Q₃₂	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
214	C₂×SD₃₂	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
216	C₂×D₁₆	—	53	1	no	—
217	C₂×D₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₁₆	—	53	1	no	—
219	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	#493	—	53	2	no	—
221	#466	—	53	2	no	—
222	#466	—	53	2	no	—
223	#460	—	106	2	no	—
224	#449	—	106	2	no	—
225	#449	—	106	2	no	—
226	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
227	C₈×D₄	—	53	1	no	—
228	#366	—	53	1	no	—
229	C₄⋊C₁₆	—	53	1	no	—
230	#358	—	53	2	no	—
231	#357	—	53	2	no	—
232	#357	—	53	2	no	—
233	C₂²⋊C₁₆	—	53	1	no	—
234	C₂²⋊C₁₆	—	53	1	no	—
235	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
236	C₅₃	#33853	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
237	C₂×#41	—	2	2	no	—
238	C₂×#41	—	106	2	no	—
239	#135	—	2	4	no	—
240	#135	—	4	2	no	—
241	#135	—	106	4	no	—
242	#135	—	212	2	no	—
243	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
245	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
246	C₂×D₈	—	53	2	no	—
247	C₂×D₈	—	106	2	no	—
248	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
250	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	#127	—	106	2	no	—
252	#127	—	212	2	no	—
253	#121	—	106	2	no	—
254	#121	—	106	2	no	—
255	#121	—	212	2	no	—
256	#121	—	212	2	no	—
257	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₄×D₄	—	53	1	no	—
259	C₄×D₄	—	212	2	no	—
260	Q₃₂	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
261	SD₃₂	—	2	4	no	—
262	SD₃₂	—	106	4	no	—
263	D₁₆	—	2	2	no	—
264	D₁₆	—	106	2	no	—
265	D₁₆	—	212	2	no	—
266	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
267	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
268	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
269	C₂×C₁₆	—	106	2	no	—
270	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	#107	—	53	2	no	—
273	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
274	#103	—	106	2	no	—
275	#102	—	106	2	no	—
276	#102	—	106	2	no	—
277	C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
278	C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
279	C₄×C₈	—	53	1	no	—
280	#41	—	4	4	no	—
281	#41	—	8	2	no	—
282	#41	—	424	2	no	—
283	#41	—	212	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
285	C₂×D₄	—	2	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	2	no	—
287	C₂×D₄	—	53	1	no	—
288	C₂×D₄	—	106	2	no	—
289	C₂×D₄	—	212	2	no	—
290	C₂×D₄	—	212	2	no	—
291	C₂×D₄	—	212	2	no	—
292	C₂×D₄	—	212	2	no	—
293	C₂×D₄	—	212	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	Q₁₆	—	2	2	no	—
299	Q₁₆	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
300	SD₁₆	—	4	4	no	—
301	SD₁₆	—	212	4	no	—
302	D₈	—	2	2	no	—
303	D₈	—	2	2	no	—
304	D₈	—	106	2	no	—
305	D₈	—	106	2	no	—
306	D₈	—	424	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	1	no	—
308	C₂×C₈	—	2	1	no	—
309	C₂×C₈	—	53	1	no	—
310	C₂×C₈	—	53	1	no	—
311	C₂×C₈	—	106	1	no	—
312	C₂×C₈	—	106	1	no	—
313	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
316	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
322	C₄²	—	53	1	no	—
323	C₄²	—	212	2	no	—
324	C₁₆	—	2	1	no	—
325	C₁₆	—	106	1	no	—
326	C₁₆	—	106	1	no	—
327	C₁₆	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
328	C₂³	—	4	2	no	—
329	C₂³	—	53	1	no	—
330	C₂³	—	212	2	no	—
331	C₂³	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	2	4	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	D₄	—	4	2	no	—
335	D₄	—	4	2	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	848	2	no	—
338	D₄	—	848	2	no	—
339	D₄	—	848	2	no	—
340	D₄	—	106	2	no	—
341	D₄	—	424	4	no	—
342	D₄	—	424	4	no	—
343	D₄	—	212	2	no	—
344	D₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	1	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	53	1	no	—
350	C₂×C₄	—	53	1	no	—
351	C₂×C₄	—	53	1	no	—
352	C₂×C₄	—	106	1	no	—
353	C₂×C₄	—	106	1	no	—
354	C₂×C₄	—	424	4	no	—
355	C₂×C₄	—	212	2	no	—
356	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₈	—	2	1	no	—
359	C₈	—	106	1	no	—
360	C₈	—	106	1	no	—
361	C₈	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₈	#13133262	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	2	1	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	2	no	—
368	C₂²	—	8	2	no	—
369	C₂²	—	106	1	no	—
370	C₂²	—	106	1	no	—
371	C₂²	—	106	1	no	—
372	C₂²	—	424	2	no	—
373	C₂²	—	424	2	no	—
374	C₂²	—	424	2	no	—
375	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	53	2	no	—
379	C₄	—	106	1	no	—
380	C₄	—	106	1	no	—
381	C₄	—	424	2	no	—
382	C₄	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#16811424	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	4	1	no	—
385	C₂	—	16	2	no	—
386	C₂	—	848	2	no	—
387	C₂	—	212	1	no	—
388	C₂	D₈×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#508×D₅₃	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#20287853	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#508	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	C₂×#508	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33853
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ C₂×#508

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811056	C₂	semidirect
2. #20286469	C₂	semidirect
3. #20276963	C₂	semidirect
4. #20276801	C₂	semidirect
5. #20276798	C₂	semidirect
6. #20276753	C₂	semidirect
7. #20276638	C₂	semidirect
8. #20276637	C₂	semidirect
9. Q₃₂×Dic₅₃	C₂	semidirect
10. C₁₆×C₂²⋊D₅₃	C₂	semidirect
11. C₂×C₅₃×#508	C₂	semidirect
78. Q₃₂×C₅₃	D₄	semidirect
188. Dic₅₃	#508	semidirect
190. C₂×#508	D₅₃	semidirect
236. C₅₃	#33853	semidirect
260. Q₃₂	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811056	2
#20286469	2
#20276963	2
#20276801	2
#20276798	2
#20276753	2
#20276638	2
#20276637	2
Q₃₂×Dic₅₃	2
C₁₆×C₂²⋊D₅₃	2
C₂×C₅₃×#508	2
#33853	53