Subgroups — #27540825

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811054	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286474	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20286473	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276964	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276800	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276639	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276637	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#13133163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276534	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133240	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133236	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811295	—	2	1	no	—
15	#16811293	—	2	1	no	—
16	#16811054	—	2	8	no	—
17	C₂×#13133163	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810860	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810856	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810823	—	2	1	no	—
26	#16810820	—	2	1	no	—
27	#16810771	—	2	2	no	—
28	#16810765	—	2	2	no	—
29	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810448	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810427	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810426	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810402	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×SD₃₂×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#357	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719947	—	2	2	no	—
44	#13133240	—	2	4	no	—
45	#13133240	—	4	2	no	—
46	#13133236	—	2	4	no	—
47	#13133236	—	4	2	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
51	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
52	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	#13133214	—	2	1	no	—
55	#13133214	—	4	1	no	—
56	#13133213	—	4	1	no	—
57	#13133192	—	2	2	no	—
58	#13133192	—	4	2	no	—
59	#13133189	—	4	2	no	—
60	#13133188	—	2	2	no	—
61	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
62	C₄×D₂₁₂	—	4	1	no	—
63	C₄×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
64	D₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
65	#13133163	D₄	1	4	yes	complemented
66	#13133162	—	2	4	no	—
67	#13133158	—	2	4	no	—
68	#13133158	—	4	2	no	—
69	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₁₆×D₅₃	—	2	4	no	—
72	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
74	#13133142	—	2	1	no	—
75	#13133138	—	2	2	no	—
76	#13133137	—	2	2	no	—
77	#13133129	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	SD₃₂×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#103×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
95	#11719949	—	4	4	no	—
96	#11719949	—	8	2	no	—
97	#11719947	—	4	4	no	—
98	#11719947	—	8	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
104	C₂×D₂₁₂	D₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
108	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
109	Q₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	D₈×C₅₃	—	8	1	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
120	#11719924	—	4	4	no	—
121	#11719923	—	4	4	no	—
122	#11719921	—	4	2	no	—
123	#11719921	D₈	1	2	yes	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
126	#11719919	—	4	1	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
130	Dic₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	D₄₂₄	—	2	2	no	—
132	D₄₂₄	—	2	2	no	—
133	D₄₂₄	—	8	1	no	—
134	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
135	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
136	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
137	#11719908	—	2	1	no	—
138	#11719908	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
142	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
143	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	16	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
154	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
158	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
159	D₂₁₂	—	2	2	no	—
160	D₂₁₂	—	4	2	no	—
161	D₂₁₂	—	4	2	no	—
162	D₂₁₂	—	8	4	no	—
163	D₂₁₂	—	8	2	no	—
164	D₂₁₂	—	16	1	no	—
165	D₂₁₂	—	16	2	no	—
166	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
171	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
172	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
174	#88322	—	2	2	no	—
175	#33853	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
182	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
189	C₄×C₅₃	#508	1	2	yes	complemented
190	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
192	Dic₅₃	—	2	2	no	—
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	8	1	no	—
195	C₂×#508	—	53	2	no	—
196	#3287	—	53	1	no	—
197	#3287	—	53	1	no	—
198	#2246	—	53	1	no	—
199	#2215	—	53	2	no	—
200	#2207	—	53	1	no	—
201	#2207	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
202	#2186	—	53	2	no	—
203	#2186	—	53	2	no	—
204	C₄×Q₃₂	—	53	1	no	—
205	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
207	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	#3415	1	1	yes	characteristic
210	D₅₃	—	4	2	no	—
211	D₅₃	—	16	2	no	—
212	C₂×#135	—	53	2	no	—
213	C₂×#135	—	53	2	no	—
214	#550	—	106	1	no	—
215	#550	—	106	1	no	—
216	#508	—	106	8	no	—
217	C₂×Q₃₂	—	53	1	no	—
218	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
219	C₂×SD₃₂	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
221	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₁₆	—	53	2	no	—
223	#493	—	53	1	no	—
224	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#466	—	53	2	no	—
226	#466	—	53	2	no	—
227	#460	—	106	1	no	—
228	#460	—	106	1	no	—
229	#449	—	106	2	no	—
230	#449	—	106	2	no	—
231	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
232	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₈×D₄	—	53	1	no	—
234	#366	—	53	1	no	—
235	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#358	—	53	1	no	—
237	#358	—	53	1	no	—
238	#357	—	53	2	no	—
239	#357	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
240	C₂²⋊C₁₆	—	53	2	no	—
241	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
242	C₅₃	#33853	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
243	C₂×#41	—	106	2	no	—
244	C₂×#41	—	106	2	no	—
245	#135	—	106	4	no	—
246	#135	—	106	4	no	—
247	#135	—	212	2	no	—
248	#135	—	212	2	no	—
249	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
250	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
253	C₂×D₈	—	2	1	no	—
254	C₂×D₈	—	53	2	no	—
255	C₂×D₈	—	106	1	no	—
256	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
258	#127	—	2	1	no	—
259	#127	—	106	1	no	—
260	#127	—	212	1	no	—
261	#127	—	212	1	no	—
262	#121	—	106	2	no	—
263	#121	—	106	2	no	—
264	#121	—	212	2	no	—
265	#121	—	212	2	no	—
266	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
267	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
268	C₄×D₄	—	53	1	no	—
269	C₄×D₄	—	212	1	no	—
270	C₄×D₄	—	212	1	no	—
271	Q₃₂	—	53	4	no	—
272	SD₃₂	—	2	4	no	—
273	SD₃₂	—	106	4	no	—
274	D₁₆	—	106	4	no	—
275	D₁₆	—	212	2	no	—
276	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
277	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
278	C₂×C₁₆	—	106	4	no	—
279	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
280	#107	—	53	1	no	—
281	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
283	#103	—	2	1	no	—
284	#103	—	106	1	no	—
285	#102	—	106	2	no	—
286	#102	—	106	2	no	—
287	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
288	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	#41	—	424	2	no	—
290	#41	—	424	2	no	—
291	#41	—	212	4	no	—
292	#41	—	212	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
294	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
295	C₂×D₄	—	2	2	no	—
296	C₂×D₄	—	4	1	no	—
297	C₂×D₄	—	4	1	no	—
298	C₂×D₄	—	53	1	no	—
299	C₂×D₄	—	106	2	no	—
300	C₂×D₄	—	212	2	no	—
301	C₂×D₄	—	212	2	no	—
302	C₂×D₄	—	212	2	no	—
303	C₂×D₄	—	212	2	no	—
304	C₂×D₄	—	212	1	no	—
305	C₂×D₄	—	212	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
309	Q₁₆	—	2	1	no	—
310	Q₁₆	—	53	2	no	—
311	Q₁₆	—	106	1	no	—
312	Q₁₆	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
313	SD₁₆	—	212	4	no	—
314	SD₁₆	—	212	4	no	—
315	D₈	—	2	2	no	—
316	D₈	—	2	2	no	—
317	D₈	—	8	1	no	—
318	D₈	—	106	2	no	—
319	D₈	—	106	2	no	—
320	D₈	—	424	1	no	—
321	C₂×C₈	—	53	2	no	—
322	C₂×C₈	—	106	2	no	—
323	C₂×C₈	—	106	2	no	—
324	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
328	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
329	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
330	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
334	C₄²	—	4	1	no	—
335	C₄²	—	212	1	no	—
336	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₁₆	—	2	2	no	—
338	C₁₆	—	53	2	no	—
339	C₁₆	—	106	1	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	53	2	no	—
342	C₂³	—	212	2	no	—
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	4	1	no	—
345	Q₈	—	106	2	no	—
346	Q₈	—	212	1	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	8	2	no	—
350	D₄	—	16	1	no	—
351	D₄	—	848	1	no	—
352	D₄	—	848	2	no	—
353	D₄	—	848	2	no	—
354	D₄	—	106	2	no	—
355	D₄	—	424	4	no	—
356	D₄	—	424	4	no	—
357	D₄	—	424	2	no	—
358	D₄	—	212	2	no	—
359	D₄	—	212	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	1	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	53	2	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	2	no	—
365	C₂×C₄	—	424	4	no	—
366	C₂×C₄	—	424	4	no	—
367	C₂×C₄	—	212	1	no	—
368	C₂×C₄	—	212	1	no	—
369	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	1	no	—
373	C₈	—	106	2	no	—
374	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
375	C₈	#13133263	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	—	8	2	no	—
377	C₂²	—	8	2	no	—
378	C₂²	—	8	2	no	—
379	C₂²	—	106	2	no	—
380	C₂²	—	106	2	no	—
381	C₂²	—	106	2	no	—
382	C₂²	—	424	2	no	—
383	C₂²	—	424	2	no	—
384	C₂²	—	424	2	no	—
385	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	4	2	no	—
388	C₄	—	8	1	no	—
389	C₄	—	106	2	no	—
390	C₄	—	424	1	no	—
391	C₄	—	212	2	no	—
392	C₄	#16811054	1	2	yes	complemented
393	C₄	#16811257	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#16811427	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	16	2	no	—
396	C₂	—	848	2	no	—
397	C₂	—	212	2	no	—
398	C₂	#20286387	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂×#16811054	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20287855	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2207	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2207	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33853
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×C₈ ◁ #2207

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811054	C₂	semidirect
2. #20286474	C₂	semidirect
3. #20286473	C₂	semidirect
4. #20276964	C₂	semidirect
5. #20276800	C₂	semidirect
6. #20276756	C₂	semidirect
7. #20276639	C₂	semidirect
8. #20276637	C₂	semidirect
9. C₄×#13133163	C₂	semidirect
10. #20276534	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2207	C₂	semidirect
65. #13133163	D₄	semidirect
189. C₄×C₅₃	#508	semidirect
201. #2207	D₅₃	semidirect
242. C₅₃	#33853	semidirect
392. C₄	#16811054	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811054	2
#20286474	2
#20286473	2
#20276964	2
#20276800	2
#20276756	2
#20276639	2
#20276637	2
C₄×#13133163	2
#20276534	2
C₅₃×#2207	2
#33853	53