Subgroups — #27540826

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20286475	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276964	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276799	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276755	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20276752	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276638	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276636	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#13133163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	D₄×#11719908	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133239	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811294	—	2	1	no	—
14	#16811053	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133163	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133161	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#11719908	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810859	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810824	—	2	1	no	—
24	#16810770	—	2	2	no	—
25	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810448	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄⋊#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810427	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810426	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810424	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810423	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²⋊#11719908	C₂²	1	2	yes	—
33	C₄×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	C₅₃×#550	—	2	1	no	—
36	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#466	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#460	—	2	1	no	—
39	C₅₃×#449	—	2	2	no	—
40	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
43	#13133239	—	2	4	no	—
44	#13133239	—	4	2	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
48	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133214	—	2	1	no	—
50	#13133213	—	4	1	no	—
51	#13133191	—	2	2	no	—
52	#13133190	—	4	2	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
54	#13133179	—	4	1	no	—
55	#13133163	D₄	1	4	yes	complemented
56	#13133161	—	2	4	no	—
57	#13133160	—	2	4	no	—
58	#13133158	—	2	4	no	—
59	#13133158	—	4	2	no	—
60	C₂×#11719908	—	2	4	no	—
61	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#13133142	—	2	1	no	—
66	#13133139	—	2	2	no	—
67	C₂×#41×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#135×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#135×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#127×C₅₃	—	4	1	no	—
77	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
78	#121×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
81	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#103×C₅₃	—	2	1	no	—
85	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
87	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#41×C₅₃	—	4	4	no	—
89	#41×C₅₃	—	8	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
101	#11719945	—	4	4	no	—
102	#11719945	—	8	2	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
106	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
108	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
109	Q₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
111	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
112	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
113	D₈×C₅₃	—	8	1	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
124	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
125	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	#11719921	—	4	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	#11719919	—	4	1	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
131	Dic₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	D₄₂₄	—	2	2	no	—
133	D₄₂₄	—	2	2	no	—
134	D₄₂₄	—	8	1	no	—
135	#11719913	—	4	4	no	—
136	#11719908	—	2	2	no	—
137	#11719908	—	2	1	no	—
138	#11719908	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
141	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
142	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
143	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
144	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
148	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	16	1	no	—
150	D₄×C₅₃	—	16	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
161	C₂²⋊D₅₃	—	16	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
164	D₂₁₂	—	4	2	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	D₂₁₂	—	8	2	no	—
167	D₂₁₂	—	16	1	no	—
168	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
171	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
173	C₈×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
175	#33853	—	53	1	no	maximal, Sylow
176	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
186	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
190	C₄×C₅₃	#508	1	2	yes	complemented
191	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
193	Dic₅₃	—	4	2	no	—
194	Dic₅₃	—	8	1	no	—
195	C₂×#508	—	53	2	no	—
196	#3287	—	53	1	no	—
197	#3287	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
198	#2246	—	53	1	no	—
199	#2215	—	53	2	no	—
200	#2207	—	53	1	no	—
201	#2207	—	53	1	no	—
202	#2186	—	53	2	no	—
203	#2186	—	53	2	no	—
204	C₄×Q₃₂	—	53	1	no	—
205	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
206	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
207	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
208	C₂×C₅₃	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₅₃	#3415	1	1	yes	characteristic
211	D₅₃	—	16	2	no	—
212	C₂×#135	—	53	2	no	—
213	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	#550	—	2	1	no	—
215	#550	—	106	1	no	—
216	#508	—	106	8	no	—
217	C₂×Q₃₂	—	53	1	no	—
218	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
219	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
220	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
221	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₁₆	—	53	2	no	—
223	#493	—	53	1	no	—
224	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	#466	—	53	2	no	—
226	#466	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
227	#460	—	2	1	no	—
228	#460	—	106	1	no	—
229	#449	—	2	2	no	—
230	#449	—	106	2	no	—
231	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
232	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#366	—	53	1	no	—
235	C₄⋊C₁₆	—	53	1	no	—
236	#358	—	53	1	no	—
237	#358	—	53	1	no	—
238	#357	—	53	2	no	—
239	#357	—	53	2	no	—
240	C₂²⋊C₁₆	—	53	2	no	—
241	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
242	C₅₃	#33853	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
243	C₂×#41	—	2	2	no	—
244	C₂×#41	—	106	2	no	—
245	#135	—	2	4	no	—
246	#135	—	4	2	no	—
247	#135	—	106	4	no	—
248	#135	—	212	2	no	—
249	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
250	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
252	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
253	C₂×D₈	—	2	1	no	—
254	C₂×D₈	—	53	2	no	—
255	C₂×D₈	—	106	1	no	—
256	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
258	#127	—	2	1	no	—
259	#127	—	4	1	no	—
260	#127	—	106	1	no	—
261	#127	—	212	1	no	—
262	#121	—	2	2	no	—
263	#121	—	4	2	no	—
264	#121	—	106	2	no	—
265	#121	—	212	2	no	—
266	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
267	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
268	C₄×D₄	—	4	1	no	—
269	C₄×D₄	—	212	1	no	—
270	C₄×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	Q₃₂	—	53	4	no	—
272	SD₃₂	—	106	4	no	—
273	SD₃₂	—	106	4	no	—
274	D₁₆	—	106	4	no	—
275	D₁₆	—	212	2	no	—
276	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
277	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
278	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
279	C₂×C₁₆	—	106	4	no	—
280	#107	—	53	1	no	—
281	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₄⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	#103	—	2	1	no	—
284	#103	—	106	1	no	—
285	#102	—	2	2	no	—
286	#102	—	106	2	no	—
287	C₂²⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	#41	—	4	4	no	—
290	#41	—	8	2	no	—
291	#41	—	424	2	no	—
292	#41	—	212	4	no	—
293	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
294	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
295	C₂×D₄	—	2	2	no	—
296	C₂×D₄	—	4	2	no	—
297	C₂×D₄	—	4	2	no	—
298	C₂×D₄	—	4	1	no	—
299	C₂×D₄	—	4	1	no	—
300	C₂×D₄	—	106	2	no	—
301	C₂×D₄	—	212	2	no	—
302	C₂×D₄	—	212	2	no	—
303	C₂×D₄	—	212	1	no	—
304	C₂×D₄	—	212	1	no	—
305	C₂×D₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
309	Q₁₆	—	2	1	no	—
310	Q₁₆	—	53	2	no	—
311	Q₁₆	—	106	1	no	—
312	Q₁₆	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
313	SD₁₆	—	4	4	no	—
314	SD₁₆	—	212	4	no	—
315	D₈	—	2	2	no	—
316	D₈	—	2	2	no	—
317	D₈	—	8	1	no	—
318	D₈	—	106	2	no	—
319	D₈	—	106	2	no	—
320	D₈	—	424	1	no	—
321	C₂×C₈	—	2	2	no	—
322	C₂×C₈	—	2	2	no	—
323	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
328	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
329	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
330	C₄⋊C₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
331	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
333	C₂²⋊C₄	#11719922	1	2	yes	—
334	C₄²	—	4	1	no	—
335	C₄²	—	212	1	no	—
336	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
337	C₁₆	—	53	2	no	—
338	C₁₆	—	106	2	no	—
339	C₁₆	—	106	1	no	—
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	212	2	no	—
342	C₂³	C₂×#11719922	1	2	yes	—
343	Q₈	—	2	2	no	—
344	Q₈	—	4	1	no	—
345	Q₈	—	106	2	no	—
346	Q₈	—	212	1	no	—
347	D₄	—	2	2	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	16	1	no	—
353	D₄	—	16	2	no	—
354	D₄	—	848	1	no	—
355	D₄	—	848	2	no	—
356	D₄	—	424	4	no	—
357	D₄	—	424	2	no	—
358	D₄	—	212	2	no	—
359	D₄	—	212	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	1	no	—
364	C₂×C₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	424	4	no	—
366	C₂×C₄	—	212	1	no	—
367	C₂×C₄	—	212	1	no	—
368	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
372	C₈	—	2	1	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
375	C₈	#13133262	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	8	2	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	8	2	no	—
382	C₂²	—	424	2	no	—
383	C₂²	—	424	2	no	—
384	C₂²	—	424	2	no	—
385	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	2	no	—
388	C₄	—	4	2	no	—
389	C₄	—	8	1	no	—
390	C₄	—	424	1	no	—
391	C₄	—	212	2	no	—
392	C₄	#16811053	1	2	yes	complemented
393	C₄	D₄×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#16811426	1	1	yes	characteristic
395	C₂	—	4	2	no	—
396	C₂	—	16	2	no	—
397	C₂	—	848	2	no	—
398	C₂	D₄×#11719922	1	1	yes	characteristic
399	C₂	C₂×#16811053	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#20287854	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3287	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#3287	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33853
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×D₄ ◁ C₈×D₄ ◁ #3287

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811053	C₂	semidirect
2. #20286475	C₂	semidirect
3. #20276964	C₂	semidirect
4. #20276799	C₂	semidirect
5. #20276755	C₂	semidirect
6. #20276752	C₂	semidirect
7. #20276638	C₂	semidirect
8. #20276636	C₂	semidirect
9. C₄×#13133163	C₂	semidirect
10. D₄×#11719908	C₂	semidirect
11. C₅₃×#3287	C₂	semidirect
55. #13133163	D₄	semidirect
190. C₄×C₅₃	#508	semidirect
197. #3287	D₅₃	semidirect
242. C₅₃	#33853	semidirect
392. C₄	#16811053	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811053	2
#20286475	2
#20276964	2
#20276799	2
#20276755	2
#20276752	2
#20276638	2
#20276636	2
C₄×#13133163	2
D₄×#11719908	2
C₅₃×#3287	2
#33853	53