Subgroups — #27540961

Order 13568.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	D₄×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20276944	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276809	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276631	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	D₄×#11719908	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#16810426	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	D₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133161	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133161	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#11719908	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810864	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810834	—	2	1	no	—
20	#16810781	—	2	2	no	—
21	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810450	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810450	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₄⋊#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810426	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810424	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²⋊#11719908	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#547	—	2	1	no	—
34	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#480	—	2	2	no	—
36	C₅₃×#474	—	2	1	no	—
37	C₅₃×#466	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#13133217	—	2	1	no	—
49	#13133216	—	4	1	no	—
50	#13133196	—	2	2	no	—
51	#13133194	—	4	2	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
53	D₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
54	#13133161	—	2	2	no	—
55	#13133161	—	4	2	no	—
56	C₂×#11719908	—	4	2	no	—
57	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133142	—	2	1	no	—
62	#13133142	—	2	2	no	—
63	C₂×#41×C₅₃	—	4	1	no	—
64	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
67	#123×C₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
69	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
74	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
75	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#102×C₅₃	—	2	1	no	—
79	#102×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#41×C₅₃	—	8	4	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
96	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
109	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	#11719919	—	4	1	no	—
117	#11719919	—	4	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
120	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
121	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
122	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
123	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
124	Dic₂₁₂	#41	1	2	yes	complemented
125	#11719908	—	2	1	no	—
126	#11719908	—	2	1	no	—
127	#11719908	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
130	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
131	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
133	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
134	D₄×C₅₃	SD₃₂	1	4	yes	complemented
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
149	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
153	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
158	#33865	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	8	1	no	—
164	C₂²×C₅₃	C₂×SD₃₂	1	4	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
169	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
171	C₄×C₅₃	#546	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
173	Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	Dic₅₃	—	8	1	no	—
175	Dic₅₃	—	8	2	no	—
176	#3334	D₅₃	1	1	yes	characteristic
177	D₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
178	#2241	—	53	1	no	—
179	#2235	—	53	2	no	—
180	#2225	—	53	1	no	—
181	#2217	—	53	2	no	—
182	#2208	—	53	1	no	—
183	#2185	—	53	2	no	—
184	C₄×SD₃₂	—	53	1	no	—
185	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
186	C₂×#358	—	53	2	no	—
187	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
188	C₂×C₅₃	—	16	1	no	—
189	C₂×C₅₃	#3294	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	C₂²×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	#3417	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
193	D₄×Q₈	—	106	1	no	—
194	#547	—	2	1	no	—
195	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
196	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
197	C₂²×C₁₆	—	53	2	no	—
198	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#494	—	53	1	no	—
200	#480	—	2	2	no	—
201	#474	—	2	1	no	—
202	#467	—	53	2	no	—
203	#466	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	#462	—	106	1	no	—
205	#451	—	106	2	no	—
206	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
207	C₄×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
210	#367	—	53	1	no	—
211	#367	—	53	2	no	—
212	C₄⋊C₁₆	—	53	1	no	—
213	#358	—	53	1	no	—
214	#358	—	53	2	no	—
215	#358	—	53	2	no	—
216	#358	—	53	2	no	—
217	#358	—	53	2	no	—
218	#357	—	53	1	no	—
219	C₂²⋊C₁₆	—	53	2	no	—
220	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
221	C₅₃	#33865	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂×#41	—	4	1	no	—
223	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	212	2	no	—
230	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	212	1	no	—
235	#123	—	4	2	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
239	#121	—	2	2	no	—
240	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
241	C₄×D₄	—	2	1	no	—
242	C₄×D₄	—	212	1	no	—
243	C₄×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	SD₃₂	—	106	2	no	—
246	SD₃₂	—	212	2	no	—
247	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
248	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
249	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
250	C₂×C₁₆	—	212	2	no	—
251	#107	—	2	2	no	—
252	#107	—	2	1	no	—
253	#107	—	53	1	no	—
254	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₄⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#103	—	106	1	no	—
258	#103	—	106	2	no	—
259	#102	—	2	1	no	—
260	#102	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
262	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	#41	—	8	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	1	no	—
271	C₂×D₄	—	4	2	no	—
272	C₂×D₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
277	Q₁₆	—	53	2	no	—
278	Q₁₆	—	106	2	no	—
279	Q₁₆	—	106	1	no	—
280	Q₁₆	—	106	2	no	—
281	Q₁₆	—	424	1	no	—
282	Q₁₆	—	212	4	no	—
283	D₈	—	2	1	no	—
284	D₈	—	2	1	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
299	C₄⋊C₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
300	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	#11719922	1	2	yes	—
304	C₄²	—	212	1	no	—
305	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	C₁₆	—	106	1	no	—
307	C₁₆	—	106	1	no	—
308	C₁₆	—	106	2	no	—
309	C₂³	—	4	1	no	—
310	C₂³	C₂×#11719922	1	2	yes	—
311	Q₈	—	8	2	no	—
312	Q₈	—	106	2	no	—
313	Q₈	—	424	4	no	—
314	Q₈	—	212	2	no	—
315	Q₈	—	212	2	no	—
316	Q₈	—	212	1	no	—
317	D₄	—	4	1	no	—
318	D₄	—	4	1	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	#13133161	1	4	yes	complemented
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	424	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	1	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	1	no	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#13133263	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	8	1	no	—
342	C₂²	—	8	1	no	—
343	C₂²	—	8	1	no	—
344	C₂²	C₂×#13133161	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	8	1	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	424	2	no	—
351	C₄	—	424	1	no	—
352	C₄	—	212	2	no	—
353	C₄	C₂×#13133161	1	2	yes	—
354	C₄	#16811261	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811431	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	2	4	no	—
357	C₂	—	16	1	no	—
358	C₂	#20286522	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂²×#13133161	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20287866	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₅₃×#3334	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#3334	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33865
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×D₄ ◁ C₈×D₄ ◁ #3334

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. D₄×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
2. #20276944	C₂	semidirect
3. #20276912	C₂	semidirect
4. #20276854	C₂	semidirect
5. #20276809	C₂	semidirect
6. #20276760	C₂	semidirect
7. #20276631	C₂	semidirect
8. C₄×#13133161	C₂	semidirect
9. D₄×#11719908	C₂	semidirect
10. C₂×#16810426	C₂	semidirect
124. Dic₂₁₂	#41	semidirect
134. D₄×C₅₃	SD₃₂	semidirect
221. C₅₃	#33865	semidirect
320. D₄	#13133161	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
D₄×Dic₂₁₂	2
#20276944	2
#20276912	2
#20276854	2
#20276809	2
#20276760	2
#20276631	2
C₄×#13133161	2
D₄×#11719908	2
C₂×#16810426	2
C₅₃×#3334	2
#33865	53