Subgroups — #27540968

Order 13568.

580 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287063	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	D₄×Dic₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276943	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20276811	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276761	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276634	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×#13133162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#16810428	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	D₄×C₁₆×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	D₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
14	#16811277	—	2	1	no	—
15	C₂×#13133162	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810937	—	2	2	no	—
20	#16810904	—	2	1	no	—
21	#16810864	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810859	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810834	—	2	1	no	—
24	#16810781	—	2	2	no	—
25	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810451	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810451	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
37	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719947	—	4	1	no	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#13133217	—	2	1	no	—
51	#13133217	—	2	1	no	—
52	#13133216	—	4	1	no	—
53	#13133201	—	4	2	no	—
54	#13133197	—	4	1	no	—
55	#13133196	—	2	2	no	—
56	#13133194	—	4	2	no	—
57	#13133191	—	2	2	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
59	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
60	D₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
61	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
62	#13133162	—	2	2	no	—
63	#13133162	—	4	2	no	—
64	#13133151	—	2	1	no	—
65	#13133151	—	2	2	no	—
66	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
67	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#13133142	—	2	1	no	—
70	#13133142	—	2	2	no	—
71	#13133139	—	2	2	no	—
72	#13133139	—	2	1	no	—
73	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×D₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
87	#11719947	—	8	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	#11719921	—	4	1	no	—
106	#11719921	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
114	#11719919	—	4	1	no	—
115	#11719919	—	4	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
118	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
120	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
121	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
122	Dic₂₁₂	#41	1	2	yes	complemented
123	D₄₂₄	—	2	1	no	—
124	D₄₂₄	—	2	1	no	—
125	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
130	D₄×C₅₃	SD₃₂	1	4	yes	complemented
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
145	D₂₁₂	—	4	1	no	—
146	D₂₁₂	—	4	1	no	—
147	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
148	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
153	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
154	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
158	#33865	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	C₂×SD₃₂	1	4	yes	—
162	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
163	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₄×C₅₃	C₂×SD₃₂	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#546	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
171	Dic₅₃	—	4	2	no	—
172	Dic₅₃	—	8	2	no	—
173	Dic₅₃	—	8	1	no	—
174	Dic₅₃	—	8	1	no	—
175	Dic₅₃	—	8	2	no	—
176	#3334	—	53	1	no	—
177	D₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
178	#2241	—	53	1	no	—
179	#2235	—	53	2	no	—
180	#2225	—	53	1	no	—
181	#2217	—	53	2	no	—
182	#2208	—	53	1	no	—
183	#2185	—	53	2	no	—
184	C₄×SD₃₂	—	53	1	no	—
185	D₄×C₁₆	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	C₂×#358	—	53	2	no	—
187	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
188	C₂×C₅₃	#3294	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂²×SD₃₂	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3417	1	1	yes	characteristic
191	D₅₃	—	16	1	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
193	D₄×Q₈	—	106	1	no	—
194	#547	—	106	1	no	—
195	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
196	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
197	C₂²×C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	#500	—	53	1	no	—
199	#494	—	53	1	no	—
200	#480	—	106	2	no	—
201	#474	—	106	1	no	—
202	#467	—	53	2	no	—
203	#466	—	53	2	no	—
204	#462	—	106	1	no	—
205	#451	—	106	2	no	—
206	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
207	C₄×D₈	—	53	1	no	—
208	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#107	—	53	2	no	—
210	#367	—	53	1	no	—
211	#367	—	53	2	no	—
212	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#358	—	53	1	no	—
214	#358	—	53	2	no	—
215	#358	—	53	2	no	—
216	#358	—	53	2	no	—
217	#358	—	53	2	no	—
218	#357	—	53	1	no	—
219	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₅₃	#33865	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂×#41	—	212	1	no	—
223	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	212	2	no	—
230	C₂×D₈	—	53	1	no	—
231	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	212	1	no	—
235	#123	—	212	2	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	212	1	no	—
238	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
239	#121	—	106	2	no	—
240	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
241	C₄×D₄	—	106	1	no	—
242	C₄×D₄	—	212	1	no	—
243	C₄×D₄	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	SD₃₂	—	106	2	no	—
246	SD₃₂	—	212	2	no	—
247	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
248	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	#107	—	53	1	no	—
252	#107	—	53	1	no	—
253	#107	—	53	2	no	—
254	#107	—	106	2	no	—
255	#107	—	106	1	no	—
256	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
257	#103	—	106	1	no	—
258	#103	—	106	2	no	—
259	#102	—	106	1	no	—
260	#102	—	106	2	no	—
261	C₂²⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	#41	—	424	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
265	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
270	C₂×D₄	—	106	1	no	—
271	C₂×D₄	—	212	2	no	—
272	C₂×D₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
277	Q₁₆	—	53	2	no	—
278	Q₁₆	—	106	2	no	—
279	Q₁₆	—	106	1	no	—
280	Q₁₆	—	106	2	no	—
281	Q₁₆	—	424	1	no	—
282	Q₁₆	—	212	4	no	—
283	D₈	—	106	1	no	—
284	D₈	—	106	1	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
299	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
304	C₄²	—	212	1	no	—
305	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
306	C₁₆	—	2	1	no	—
307	C₁₆	—	2	1	no	—
308	C₁₆	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	212	1	no	—
310	C₂³	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
311	Q₈	—	106	2	no	—
312	Q₈	—	424	4	no	—
313	Q₈	—	424	2	no	—
314	Q₈	—	212	2	no	—
315	Q₈	—	212	2	no	—
316	Q₈	—	212	1	no	—
317	D₄	—	424	4	no	—
318	D₄	—	212	1	no	—
319	D₄	—	212	1	no	—
320	D₄	#13133162	1	4	yes	complemented
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	424	4	no	—
324	C₂×C₄	—	424	4	no	—
325	C₂×C₄	—	424	2	no	—
326	C₂×C₄	—	212	1	no	—
327	C₂×C₄	—	212	1	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	2	1	no	—
337	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#13133262	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	424	1	no	—
342	C₂²	—	424	1	no	—
343	C₂²	—	424	1	no	—
344	C₂²	C₂×#13133162	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	424	2	no	—
349	C₄	—	424	1	no	—
350	C₄	—	424	2	no	—
351	C₄	—	424	1	no	—
352	C₄	—	212	2	no	—
353	C₄	C₂×#13133162	1	2	yes	—
354	C₄	#16811268	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#16811435	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	2	4	no	—
357	C₂	—	848	1	no	—
358	C₂	#20286529	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂²×#13133162	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20287868	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	D₄×C₁₆×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	#20287063	C₂
hypercenter	D₄×C₁₆	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33865
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×D₄ ◁ C₈×D₄ ◁ D₄×C₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. D₄×Dic₂₁₂	C₂	semidirect
3. #20276943	C₂	semidirect
4. #20276913	C₂	semidirect
5. #20276858	C₂	semidirect
6. #20276811	C₂	semidirect
7. #20276761	C₂	semidirect
8. #20276634	C₂	semidirect
9. C₄×#13133162	C₂	semidirect
10. C₂×#16810428	C₂	semidirect
11. D₄×C₁₆×C₅₃	C₂	semidirect
122. Dic₂₁₂	#41	semidirect
130. D₄×C₅₃	SD₃₂	semidirect
185. D₄×C₁₆	D₅₃	semidirect
221. C₅₃	#33865	semidirect
320. D₄	#13133162	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287063	2
D₄×Dic₂₁₂	2
#20276943	2
#20276913	2
#20276858	2
#20276811	2
#20276761	2
#20276634	2
C₄×#13133162	2
C₂×#16810428	2
D₄×C₁₆×C₅₃	2
#33865	53