Subgroups — #27541013

Order 13568.

546 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20286437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276944	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276923	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276804	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276765	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276653	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	D₄×#11719908	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276420	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133239	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811278	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133163	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133160	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#11719908	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810864	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810829	—	2	1	no	—
20	#16810787	—	2	2	no	—
21	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810450	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810448	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄⋊#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810427	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810426	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810423	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810423	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²⋊#11719908	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#556	—	2	1	no	—
34	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#485	—	2	2	no	—
36	C₅₃×#475	—	2	1	no	—
37	C₅₃×#467	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₈×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#427	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
42	#13133239	—	2	4	no	—
43	#13133239	—	4	2	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#13133217	—	2	1	no	—
49	#13133199	—	4	2	no	—
50	#13133196	—	2	2	no	—
51	#13133188	—	4	1	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
53	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
54	#13133163	—	4	2	no	—
55	#13133160	—	2	2	no	—
56	C₂×#11719908	—	4	2	no	—
57	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133142	—	2	2	no	—
62	#13133139	—	2	1	no	—
63	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
66	#126×C₅₃	—	4	2	no	—
67	#124×C₅₃	—	4	1	no	—
68	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₄×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
71	C₄×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
73	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
74	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#103×C₅₃	—	2	1	no	—
79	#103×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
87	#11719945	—	4	4	no	—
88	#11719945	—	8	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
94	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
109	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
113	#11719921	—	4	1	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	#11719919	—	4	2	no	—
118	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
120	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
121	D₄₂₄	—	2	1	no	—
122	D₄₂₄	#41	1	2	yes	—
123	#11719913	—	4	4	no	—
124	#11719908	—	2	1	no	—
125	#11719908	—	2	1	no	—
126	#11719908	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
129	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
132	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
145	D₂₁₂	—	2	2	no	—
146	D₂₁₂	—	4	1	no	—
147	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
148	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
153	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
155	#33869	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
160	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
168	C₄×C₅₃	#508	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#546	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
171	Dic₅₃	—	8	1	no	—
172	Dic₅₃	—	8	2	no	—
173	#3342	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
174	#3283	—	53	1	no	—
175	#2241	—	53	1	no	—
176	#2237	—	53	2	no	—
177	#2224	—	53	1	no	—
178	#2216	—	53	2	no	—
179	#2209	—	53	1	no	—
180	#2189	—	53	2	no	—
181	C₄×SD₃₂	—	53	1	no	—
182	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
183	#2138	—	53	2	no	—
184	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×C₅₃	#3294	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#3417	1	1	yes	characteristic
188	D₅₃	—	8	2	no	—
189	C₂×#135	—	53	2	no	—
190	#556	—	2	1	no	—
191	#547	—	106	1	no	—
192	C₂×Q₃₂	—	53	2	no	—
193	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
194	C₂²×C₁₆	—	53	2	no	—
195	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
196	#494	—	53	1	no	—
197	#485	—	2	2	no	—
198	#475	—	2	1	no	—
199	#467	—	53	2	no	—
200	#467	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	#461	—	106	1	no	—
202	#452	—	106	2	no	—
203	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₄×D₈	—	53	1	no	—
205	C₈×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#427	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	#367	—	53	1	no	—
208	#366	—	53	2	no	—
209	C₄⋊C₁₆	—	53	1	no	—
210	#358	—	53	1	no	—
211	#358	—	53	2	no	—
212	#358	—	53	2	no	—
213	#358	—	53	2	no	—
214	#357	—	53	1	no	—
215	#357	—	53	2	no	—
216	C₂²⋊C₁₆	—	53	2	no	—
217	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
218	C₅₃	#33869	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂×#41	—	106	2	no	—
220	#135	—	106	4	no	—
221	#135	—	212	2	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
224	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
226	C₂×D₈	—	53	1	no	—
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
230	#126	—	4	2	no	—
231	#124	—	4	1	no	—
232	#123	—	212	2	no	—
233	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
235	#121	—	212	1	no	—
236	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
237	C₄×Q₈	—	4	1	no	—
238	C₄×D₄	—	106	1	no	—
239	C₄×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#117	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
242	Q₃₂	—	212	2	no	—
243	SD₃₂	—	106	2	no	—
244	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
245	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
246	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
247	C₂×C₁₆	—	212	2	no	—
248	#107	—	2	1	no	—
249	#107	—	53	1	no	—
250	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	#106	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	#103	—	2	1	no	—
255	#103	—	2	2	no	—
256	#103	—	106	2	no	—
257	#102	—	106	1	no	—
258	C₂²⋊C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
259	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	#41	—	424	2	no	—
261	#41	—	212	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
265	C₂×D₄	—	106	1	no	—
266	C₂×D₄	—	212	2	no	—
267	C₂×D₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
271	Q₁₆	—	2	1	no	—
272	Q₁₆	—	2	1	no	—
273	Q₁₆	—	106	2	no	—
274	Q₁₆	—	106	2	no	—
275	Q₁₆	—	424	1	no	—
276	SD₁₆	—	212	4	no	—
277	D₈	—	53	2	no	—
278	D₈	—	106	1	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
293	C₄⋊C₄	#11719922	1	1	yes	characteristic
294	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
298	C₂²⋊C₄	#11719922	1	2	yes	—
299	C₄²	—	4	2	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₁₆	—	106	1	no	—
303	C₁₆	—	106	1	no	—
304	C₁₆	—	106	2	no	—
305	C₂³	—	212	1	no	—
306	C₂³	C₂×#11719922	1	2	yes	—
307	Q₈	—	4	1	no	—
308	Q₈	—	4	1	no	—
309	Q₈	—	8	2	no	—
310	Q₈	—	212	2	no	—
311	Q₈	—	212	2	no	—
312	D₄	—	2	2	no	—
313	D₄	—	106	2	no	—
314	D₄	—	424	4	no	—
315	D₄	—	212	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	424	4	no	—
322	C₂×C₄	—	424	2	no	—
323	C₂×C₄	—	212	1	no	—
324	C₂×C₄	—	212	2	no	—
325	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	1	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#13133263	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	424	1	no	—
337	C₂²	—	424	1	no	—
338	C₂²	—	212	2	no	—
339	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	1	no	—
342	C₄	—	8	1	no	—
343	C₄	—	8	2	no	—
344	C₄	—	8	1	no	—
345	C₄	—	424	2	no	—
346	C₄	—	424	1	no	—
347	C₄	#16811053	1	2	yes	—
348	C₄	#16811261	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#16811431	1	1	yes	characteristic
350	C₂	—	4	2	no	—
351	C₂	—	424	2	no	—
352	C₂	#20286522	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#16811053	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#20287866	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#11719922
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3342	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	#20286437	C₂
hypercenter	#3342	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33869
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×D₄ ◁ C₈×D₄ ◁ #3342

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20276944	C₂	semidirect
3. #20276923	C₂	semidirect
4. #20276849	C₂	semidirect
5. #20276804	C₂	semidirect
6. #20276765	C₂	semidirect
7. #20276653	C₂	semidirect
8. C₄×#13133160	C₂	semidirect
9. D₄×#11719908	C₂	semidirect
10. #20276420	C₂	semidirect
11. C₅₃×#3342	C₂	semidirect
173. #3342	D₅₃	semidirect
218. C₅₃	#33869	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20286437	2
#20276944	2
#20276923	2
#20276849	2
#20276804	2
#20276765	2
#20276653	2
C₄×#13133160	2
D₄×#11719908	2
#20276420	2
C₅₃×#3342	2
#33869	53