Subgroups — #27541029

Order 13568.

558 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287137	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20286435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276922	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276757	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276641	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×D₈₄₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₁₆×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276421	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133240	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811339	—	2	1	no	—
14	#16811276	—	2	1	no	—
15	C₂×#13133160	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₁₆×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810950	—	2	2	no	—
19	#16810910	—	2	1	no	—
20	#16810861	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810860	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810825	—	2	1	no	—
23	#16810784	—	2	2	no	—
24	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₈×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810660	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810450	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810449	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄⋊#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810427	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810423	C₂²	1	2	yes	—
35	#16810402	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#358	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#358	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719949	—	2	2	no	—
42	#13133240	—	2	4	no	—
43	#13133240	—	4	2	no	—
44	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₈×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	#13133206	—	4	2	no	—
49	#13133202	—	4	2	no	—
50	#13133193	—	2	2	no	—
51	#13133192	—	2	2	no	—
52	#13133192	—	4	1	no	—
53	#13133192	—	4	1	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
55	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
56	C₄×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#13133175	—	2	2	no	—
58	#13133175	—	4	1	no	—
59	C₄⋊C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
60	#13133160	—	4	2	no	—
61	D₈₄₈	—	2	2	no	—
62	C₂×#11719908	C₂³	1	2	yes	—
63	C₁₆×D₅₃	—	4	2	no	—
64	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133148	—	2	2	no	—
67	C₄⋊#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#13133141	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	1	no	—
70	#13133139	—	2	1	no	—
71	#13133137	—	2	2	no	—
72	#13133129	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#107×C₅₃	—	2	1	no	—
80	#107×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
84	#11719949	—	4	4	no	—
85	#11719949	—	8	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	D₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
96	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
97	Q₁₆×C₅₃	—	8	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	#11719924	—	4	4	no	—
106	#11719921	—	4	2	no	—
107	#11719921	—	4	2	no	—
108	#11719921	—	4	1	no	—
109	#11719921	—	4	1	no	—
110	#11719921	—	4	2	no	—
111	#11719921	D₈	1	2	yes	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
115	#11719919	—	4	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	D₄₂₄	—	2	1	no	—
119	D₄₂₄	—	2	1	no	—
120	D₄₂₄	—	2	1	no	—
121	D₄₂₄	#41	1	2	yes	—
122	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
123	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
124	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
126	#11719908	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
132	Q₈×C₅₃	—	16	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
141	D₂₁₂	—	2	2	no	—
142	D₂₁₂	—	2	2	no	—
143	D₂₁₂	—	4	1	no	—
144	D₂₁₂	—	4	1	no	—
145	D₂₁₂	—	4	1	no	—
146	D₂₁₂	—	8	4	no	—
147	D₂₁₂	—	16	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
150	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
151	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
152	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
156	#88322	—	2	2	no	—
157	#33870	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
165	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
166	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
168	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
169	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
171	C₄×C₅₃	#508	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	#546	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
174	Dic₅₃	—	2	2	no	—
175	Dic₅₃	—	8	1	no	—
176	Dic₅₃	—	8	1	no	—
177	#3341	—	53	1	no	—
178	#3283	—	53	1	no	—
179	#2241	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
180	#2237	—	53	2	no	—
181	#2226	—	53	1	no	—
182	#2217	—	53	2	no	—
183	#2208	—	53	1	no	—
184	#2186	—	53	2	no	—
185	C₄×D₁₆	—	53	1	no	—
186	D₄×C₁₆	—	53	1	no	—
187	#2138	—	53	2	no	—
188	C₂×C₅₃	#3294	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
191	D₅₃	—	4	2	no	—
192	D₅₃	—	8	2	no	—
193	D₅₃	—	16	1	no	—
194	C₂×#135	—	53	2	no	—
195	#555	—	106	1	no	—
196	#547	—	106	1	no	—
197	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
198	C₂×D₁₆	—	53	1	no	—
199	C₂²×C₁₆	—	53	2	no	—
200	#500	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	#494	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	#482	—	106	2	no	—
203	#476	—	106	1	no	—
204	#467	—	53	2	no	—
205	#466	—	53	2	no	—
206	#461	—	106	1	no	—
207	#452	—	106	2	no	—
208	C₄×D₈	—	53	1	no	—
209	C₄×D₈	—	53	1	no	—
210	C₈×D₄	—	53	1	no	—
211	#427	—	53	2	no	—
212	#367	—	53	2	no	—
213	#366	—	53	1	no	—
214	C₄⋊C₁₆	—	53	1	no	—
215	#358	—	53	2	no	—
216	#358	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	#358	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	#357	—	53	1	no	—
219	#357	—	53	1	no	—
220	#357	—	53	2	no	—
221	C₂²⋊C₁₆	—	53	2	no	—
222	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₅₃	#33870	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂×#41	—	106	2	no	—
225	#135	—	106	4	no	—
226	#135	—	212	2	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
228	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
230	C₂×D₈	—	53	1	no	—
231	C₂×D₈	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
235	#124	—	212	2	no	—
236	#123	—	212	2	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	#121	—	106	2	no	—
239	#121	—	212	1	no	—
240	#121	—	212	1	no	—
241	C₄×D₄	—	53	1	no	—
242	C₄×D₄	—	106	1	no	—
243	C₄×D₄	—	106	1	no	—
244	#117	—	106	2	no	—
245	#117	—	212	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
247	SD₃₂	—	212	2	no	—
248	D₁₆	—	106	2	no	—
249	C₂×C₁₆	—	53	2	no	—
250	C₂×C₁₆	—	212	2	no	—
251	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
253	#107	—	2	1	no	—
254	#107	—	53	1	no	—
255	#107	—	53	1	no	—
256	#107	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
257	#106	—	106	2	no	—
258	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
259	#103	—	106	2	no	—
260	#102	—	106	2	no	—
261	#102	—	106	1	no	—
262	#102	—	106	1	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
264	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	#41	—	424	2	no	—
266	#41	—	212	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
269	C₂×D₄	—	53	1	no	—
270	C₂×D₄	—	106	1	no	—
271	C₂×D₄	—	106	1	no	—
272	C₂×D₄	—	212	2	no	—
273	C₂×D₄	—	212	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
278	Q₁₆	—	2	2	no	—
279	Q₁₆	—	2	2	no	—
280	Q₁₆	—	8	1	no	—
281	SD₁₆	—	212	4	no	—
282	D₈	—	53	2	no	—
283	D₈	—	106	1	no	—
284	D₈	—	106	1	no	—
285	D₈	—	106	1	no	—
286	C₂×C₈	—	53	2	no	—
287	C₂×C₈	—	106	2	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
305	C₄²	—	212	2	no	—
306	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
307	C₁₆	—	2	1	no	—
308	C₁₆	—	2	1	no	—
309	C₁₆	—	106	2	no	—
310	C₂³	—	53	2	no	—
311	C₂³	—	212	1	no	—
312	C₂³	—	212	1	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	Q₈	—	16	1	no	—
316	D₄	—	848	2	no	—
317	D₄	—	106	2	no	—
318	D₄	—	106	2	no	—
319	D₄	—	424	4	no	—
320	D₄	—	212	1	no	—
321	D₄	—	212	1	no	—
322	D₄	—	212	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	2	no	—
328	C₂×C₄	—	424	4	no	—
329	C₂×C₄	—	424	2	no	—
330	C₂×C₄	—	424	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	1	no	—
332	C₂×C₄	—	212	1	no	—
333	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	2	1	no	—
337	C₈	—	106	2	no	—
338	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#13133263	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	—	106	2	no	—
341	C₂²	—	106	2	no	—
342	C₂²	—	106	2	no	—
343	C₂²	—	424	1	no	—
344	C₂²	—	424	1	no	—
345	C₂²	—	424	1	no	—
346	C₂²	—	424	1	no	—
347	C₂²	—	424	1	no	—
348	C₂²	—	212	2	no	—
349	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	1	no	—
351	C₄	—	8	2	no	—
352	C₄	—	8	2	no	—
353	C₄	—	106	2	no	—
354	C₄	—	424	1	no	—
355	C₄	—	424	1	no	—
356	C₄	#16811056	1	2	yes	—
357	C₄	#16811266	1	1	yes	characteristic
358	C₄	#16811429	1	1	yes	characteristic
359	C₂	—	848	1	no	—
360	C₂	—	424	2	no	—
361	C₂	—	212	2	no	—
362	C₂	#20286527	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#16811056	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#20287857	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2241	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
hypercenter	#2241	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33870
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×C₈ ◁ #2241

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287137	C₂	semidirect
2. #20286435	C₂	semidirect
3. #20276922	C₂	semidirect
4. #20276859	C₂	semidirect
5. #20276814	C₂	semidirect
6. #20276757	C₂	semidirect
7. #20276641	C₂	semidirect
8. C₄×D₈₄₈	C₂	semidirect
9. C₁₆×D₂₁₂	C₂	semidirect
10. #20276421	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2241	C₂	semidirect
179. #2241	D₅₃	semidirect
223. C₅₃	#33870	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287137	2
#20286435	2
#20276922	2
#20276859	2
#20276814	2
#20276757	2
#20276641	2
C₄×D₈₄₈	2
C₁₆×D₂₁₂	2
#20276421	2
C₅₃×#2241	2
#33870	53