Subgroups — #27541896

Order 13568.

520 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	Q₈×D₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276939	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276863	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20276592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#13133162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811358	—	2	1	no	—
13	Q₈×D₂₁₂	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133162	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×D₈₄₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811028	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811028	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810904	—	2	1	no	—
21	#16810904	—	2	2	no	—
22	#16810839	—	2	2	no	—
23	#16810824	—	2	1	no	—
24	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810451	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810451	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810425	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#346	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×Q₈×D₅₃	—	4	1	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	#13133217	—	2	2	no	—
48	#13133217	—	2	1	no	—
49	#13133214	—	2	1	no	—
50	#13133206	—	4	1	no	—
51	#13133205	—	2	2	no	—
52	#13133202	—	4	2	no	—
53	#13133197	—	4	1	no	—
54	#13133197	—	4	2	no	—
55	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
56	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
57	C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
58	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
59	#13133179	—	4	1	no	—
60	#13133162	—	2	2	no	—
61	D₈₄₈	—	2	4	no	—
62	#13133151	—	2	2	no	—
63	#13133151	—	2	1	no	—
64	#13133151	C₂³	1	2	yes	—
65	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#13133142	—	2	1	no	—
68	#13133139	—	2	2	no	—
69	#13133139	—	2	2	no	—
70	#13133139	—	2	1	no	—
71	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
77	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
80	Q₈×D₅₃	—	8	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
85	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
95	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	#11719921	—	4	2	no	—
99	#11719921	—	4	2	no	—
100	#11719921	—	4	1	no	—
101	#11719921	—	4	2	no	—
102	#11719921	—	4	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
108	#11719919	—	4	1	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
110	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
111	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
112	D₄₂₄	—	2	2	no	—
113	D₄₂₄	—	2	1	no	—
114	D₄₂₄	—	2	2	no	—
115	D₄₂₄	—	8	1	no	—
116	D₄₂₄	#41	1	2	yes	—
117	#11719913	—	8	2	no	—
118	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
123	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
133	D₂₁₂	—	2	2	no	—
134	D₂₁₂	—	4	2	no	—
135	D₂₁₂	—	4	1	no	—
136	D₂₁₂	—	4	2	no	—
137	D₂₁₂	—	8	2	no	—
138	D₂₁₂	—	16	1	no	—
139	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
141	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
142	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
143	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
144	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
145	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
146	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
148	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
149	C₈×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
150	#33940	—	53	1	no	maximal, Sylow
151	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
152	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
154	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
155	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
156	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
158	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
161	C₄×C₅₃	#509	1	2	yes	—
162	C₄×C₅₃	#548	1	1	yes	characteristic
163	C₄×C₅₃	#577	1	1	yes	characteristic
164	Dic₅₃	—	8	1	no	—
165	Dic₅₃	—	8	1	no	—
166	Dic₅₃	—	8	2	no	—
167	Dic₅₃	—	8	1	no	—
168	#3396	—	53	1	no	—
169	Q₈×D₈	—	53	1	no	—
170	#2243	—	53	2	no	—
171	#2240	—	53	1	no	—
172	#2226	—	53	2	no	—
173	#2225	—	53	1	no	—
174	#2210	—	53	2	no	—
175	#2206	—	53	1	no	—
176	#2183	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
177	#2177	—	53	2	no	—
178	C₄×SD₃₂	—	53	1	no	—
179	C₂×C₅₃	#3358	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
182	D₅₃	—	8	2	no	—
183	D₅₃	—	16	2	no	—
184	#559	—	106	1	no	—
185	D₄×Q₈	—	106	1	no	—
186	C₂×SD₃₂	—	53	1	no	—
187	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
188	#500	—	53	1	no	—
189	#500	—	53	2	no	—
190	#495	—	53	2	no	—
191	#493	—	53	1	no	—
192	#474	—	106	1	no	—
193	#474	—	106	2	no	—
194	#463	—	106	2	no	—
195	#460	—	106	1	no	—
196	C₈×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
198	C₄×D₈	—	53	1	no	—
199	C₄×D₈	—	53	2	no	—
200	C₄×D₈	—	53	2	no	—
201	#367	—	53	1	no	—
202	#367	—	53	2	no	—
203	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	#358	—	53	1	no	—
206	#358	—	53	2	no	—
207	#357	—	53	1	no	—
208	#357	—	53	2	no	—
209	#357	—	53	2	no	—
210	#357	—	53	2	no	—
211	#346	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₅₃	#33940	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
214	C₂²×Q₈	—	212	1	no	—
215	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
216	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
217	C₂×D₈	—	53	1	no	—
218	C₂×D₈	—	53	2	no	—
219	C₂×D₈	—	106	1	no	—
220	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
221	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
222	#127	—	106	1	no	—
223	#124	—	106	2	no	—
224	#124	—	212	1	no	—
225	#123	—	212	2	no	—
226	C₂²⋊Q₈	—	212	1	no	—
227	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
228	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
229	C₄×Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
230	C₄×D₄	—	106	2	no	—
231	C₄×D₄	—	106	1	no	—
232	C₄×D₄	—	106	2	no	—
233	C₄×D₄	—	212	1	no	—
234	SD₃₂	—	106	2	no	—
235	D₁₆	—	106	4	no	—
236	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	#107	—	53	2	no	—
240	#107	—	53	1	no	—
241	#107	—	53	1	no	—
242	#107	—	106	2	no	—
243	#107	—	106	1	no	—
244	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
246	#103	—	106	1	no	—
247	#102	—	106	2	no	—
248	#102	—	106	2	no	—
249	#102	—	106	1	no	—
250	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
253	C₂×Q₈	—	424	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
256	C₂×Q₈	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂×D₄	—	106	1	no	—
258	C₂×D₄	—	106	2	no	—
259	C₂×D₄	—	212	1	no	—
260	C₂×D₄	—	212	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	212	1	no	—
264	Q₁₆	—	106	1	no	—
265	Q₁₆	—	106	1	no	—
266	SD₁₆	—	424	2	no	—
267	D₈	—	53	2	no	—
268	D₈	—	106	2	no	—
269	D₈	—	106	1	no	—
270	D₈	—	106	2	no	—
271	D₈	—	424	1	no	—
272	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
281	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	212	1	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
288	C₄²	—	212	1	no	—
289	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
290	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
291	C₁₆	—	2	2	no	—
292	C₁₆	—	2	1	no	—
293	C₁₆	—	2	1	no	—
294	C₂³	—	212	2	no	—
295	C₂³	—	212	1	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	424	4	no	—
298	Q₈	—	424	2	no	—
299	Q₈	—	212	1	no	—
300	Q₈	—	212	1	no	—
301	D₄	—	848	1	no	—
302	D₄	—	106	2	no	—
303	D₄	—	424	2	no	—
304	D₄	—	212	2	no	—
305	D₄	—	212	2	no	—
306	D₄	—	212	1	no	—
307	C₂×C₄	—	848	2	no	—
308	C₂×C₄	—	424	4	no	—
309	C₂×C₄	—	424	2	no	—
310	C₂×C₄	—	212	1	no	—
311	C₂×C₄	—	212	1	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	212	1	no	—
314	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	1	no	—
320	C₈	—	2	2	no	—
321	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#13133265	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	—	424	2	no	—
324	C₂²	—	424	2	no	—
325	C₂²	—	424	2	no	—
326	C₂²	—	424	1	no	—
327	C₂²	—	424	1	no	—
328	C₂²	—	212	2	no	—
329	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	2	2	no	—
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	424	2	no	—
334	C₄	—	424	1	no	—
335	C₄	—	424	1	no	—
336	C₄	—	424	1	no	—
337	C₄	#16811061	1	2	yes	—
338	C₄	#16811285	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#16811435	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	848	2	no	—
341	C₂	—	424	2	no	—
342	C₂	#20287351	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#16811061	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#20287863	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2183	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	#20276751	C₂
hypercenter	#2183	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33940
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×Q₈ ◁ C₈×Q₈ ◁ #2183

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287728	C₂	semidirect
2. Q₈×D₄₂₄	C₂	semidirect
3. #20276952	C₂	semidirect
4. #20276939	C₂	semidirect
5. #20276863	C₂	semidirect
6. #20276858	C₂	semidirect
7. #20276771	C₂	semidirect
9. #20276592	C₂	semidirect
10. C₄×#13133162	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2183	C₂	semidirect
176. #2183	D₅₃	semidirect
213. C₅₃	#33940	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287728	2
Q₈×D₄₂₄	2
#20276952	2
#20276939	2
#20276863	2
#20276858	2
#20276771	2
#20276751	2
#20276592	2
C₄×#13133162	2
C₅₃×#2183	2
#33940	53