Subgroups — #27542113

Order 13568.

532 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287729	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20287725	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276975	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276964	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20276772	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276769	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20276756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20276617	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#13133163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20276559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811359	—	2	1	no	—
13	#16811358	—	2	1	no	—
14	C₂×#13133163	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133158	C₂²	1	2	yes	—
18	#16811008	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811006	C₂²	1	2	yes	—
20	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810841	—	2	2	no	—
22	#16810836	—	2	2	no	—
23	#16810823	—	2	1	no	—
24	#16810820	—	2	1	no	—
25	C₈×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	D₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810705	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810448	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810441	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810427	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810426	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#11719908	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₁₆×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×SD₃₂×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
37	C₅₃×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#357	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×#11719923	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
45	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133214	—	2	1	no	—
47	#13133206	—	2	2	no	—
48	#13133205	—	4	1	no	—
49	#13133204	—	2	2	no	—
50	#13133204	—	4	1	no	—
51	#13133202	—	4	2	no	—
52	#13133198	—	4	2	no	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
54	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₄×D₂₁₂	—	4	1	no	—
56	D₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	D₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
58	#13133179	—	2	2	no	—
59	#13133163	—	2	2	no	—
60	#13133162	—	4	2	no	—
61	#13133158	—	2	4	no	—
62	#13133158	—	4	2	no	—
63	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#11719908	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊#88322	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#13133146	D₄	1	2	yes	—
68	#13133142	—	2	1	no	—
69	#13133138	—	2	2	no	—
70	#13133137	—	2	2	no	—
71	C₈×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×Q₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×D₈×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×D₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
77	SD₃₂×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	#107×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#103×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	1	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	D₈	1	1	yes	characteristic
93	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
94	Q₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
95	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
96	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	D₈×C₅₃	—	8	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	#11719924	—	8	2	no	—
108	#11719923	—	8	2	no	—
109	#11719921	—	4	2	no	—
110	#11719921	—	4	2	no	—
111	#11719921	—	4	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
114	#11719919	—	4	1	no	—
115	#11719919	D₈	1	2	yes	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
117	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
120	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
121	D₄₂₄	—	2	2	no	—
122	D₄₂₄	—	2	2	no	—
123	D₄₂₄	—	8	1	no	—
124	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
125	#11719908	—	2	1	no	—
126	#11719908	#41	1	2	yes	—
127	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
129	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	1	no	—
131	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
134	D₄×C₅₃	—	16	1	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	16	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
145	D₂₁₂	—	4	2	no	—
146	D₂₁₂	—	4	2	no	—
147	D₂₁₂	—	8	2	no	—
148	D₂₁₂	—	16	1	no	—
149	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
153	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
154	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
156	#88322	—	2	2	no	—
157	#33963	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
164	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
166	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
168	C₄×C₅₃	#508	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	—	2	2	no	—
173	Dic₅₃	—	8	1	no	—
174	Dic₅₃	—	8	1	no	—
175	#3396	—	53	1	no	—
176	#3396	—	53	1	no	—
177	#2249	—	53	2	no	—
178	#2246	—	53	1	no	—
179	#2210	—	53	2	no	—
180	#2210	—	53	2	no	—
181	#2207	—	53	1	no	—
182	#2207	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
183	Q₈×C₁₆	—	53	1	no	—
184	C₄×Q₃₂	—	53	1	no	—
185	C₄×D₁₆	—	53	2	no	—
186	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
187	C₂×C₅₃	#3391	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3415	1	1	yes	characteristic
190	D₅₃	—	16	2	no	—
191	#559	—	106	1	no	—
192	#559	—	106	1	no	—
193	C₂×Q₃₂	—	53	1	no	—
194	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
195	C₂×SD₃₂	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
197	C₂×D₁₆	—	53	2	no	—
198	#495	—	53	2	no	—
199	#495	—	53	2	no	—
200	#493	—	53	1	no	—
201	#493	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	#463	—	106	2	no	—
203	#463	—	106	2	no	—
204	#460	—	106	1	no	—
205	#460	—	106	1	no	—
206	C₈×Q₈	—	53	1	no	—
207	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
208	C₄×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₄×D₈	—	53	2	no	—
210	C₄×D₈	—	53	2	no	—
211	#366	—	53	1	no	—
212	C₄⋊C₁₆	—	53	2	no	—
213	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#358	—	53	1	no	—
215	#358	—	53	1	no	—
216	#357	—	53	2	no	—
217	#357	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	C₄×C₁₆	—	53	2	no	—
219	C₄×C₁₆	—	53	1	no	—
220	C₅₃	#33963	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
221	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
222	C₂×Q₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
224	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂×D₈	—	2	1	no	—
226	C₂×D₈	—	53	2	no	—
227	C₂×D₈	—	106	1	no	—
228	C₂×D₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
229	#127	—	2	1	no	—
230	#127	—	106	1	no	—
231	#124	—	106	2	no	—
232	#124	—	106	2	no	—
233	#124	—	212	1	no	—
234	#124	—	212	1	no	—
235	#123	—	212	2	no	—
236	#123	—	212	2	no	—
237	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
238	C₄×Q₈	—	53	1	no	—
239	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
240	C₄×D₄	—	106	2	no	—
241	C₄×D₄	—	106	2	no	—
242	C₄×D₄	—	212	1	no	—
243	C₄×D₄	—	212	1	no	—
244	Q₃₂	—	106	2	no	—
245	SD₃₂	—	4	2	no	—
246	SD₃₂	—	212	2	no	—
247	D₁₆	—	106	4	no	—
248	D₁₆	—	212	2	no	—
249	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
250	C₂×C₁₆	—	53	1	no	—
251	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	#107	—	53	1	no	—
253	#107	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
255	C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
256	#103	—	2	1	no	—
257	#103	—	106	1	no	—
258	#102	—	106	2	no	—
259	#102	—	106	2	no	—
260	C₄×C₈	—	53	2	no	—
261	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
263	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
265	C₂×D₄	—	2	2	no	—
266	C₂×D₄	—	4	1	no	—
267	C₂×D₄	—	4	1	no	—
268	C₂×D₄	—	106	2	no	—
269	C₂×D₄	—	212	1	no	—
270	C₂×D₄	—	212	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
273	Q₁₆	—	2	1	no	—
274	Q₁₆	—	2	1	no	—
275	Q₁₆	—	106	1	no	—
276	Q₁₆	—	106	1	no	—
277	SD₁₆	—	424	2	no	—
278	SD₁₆	—	424	2	no	—
279	D₈	—	2	2	no	—
280	D₈	—	2	2	no	—
281	D₈	—	8	1	no	—
282	D₈	—	106	2	no	—
283	D₈	—	106	2	no	—
284	D₈	—	424	1	no	—
285	C₂×C₈	—	53	2	no	—
286	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
300	C₄²	—	4	1	no	—
301	C₄²	—	53	2	no	—
302	C₄²	—	212	1	no	—
303	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₁₆	—	2	2	no	—
305	C₁₆	—	53	2	no	—
306	C₁₆	—	106	1	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	212	2	no	—
309	Q₈	—	4	1	no	—
310	Q₈	—	4	1	no	—
311	Q₈	—	106	2	no	—
312	Q₈	—	212	1	no	—
313	Q₈	—	212	1	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	2	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	16	1	no	—
318	D₄	—	848	1	no	—
319	D₄	—	424	2	no	—
320	D₄	—	212	2	no	—
321	D₄	—	212	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	53	2	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	848	2	no	—
327	C₂×C₄	—	848	2	no	—
328	C₂×C₄	—	212	1	no	—
329	C₂×C₄	—	212	1	no	—
330	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	1	no	—
334	C₈	—	106	2	no	—
335	C₈	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₈	#13133262	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	2	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	424	2	no	—
341	C₂²	—	424	2	no	—
342	C₂²	—	424	2	no	—
343	C₂²	C₂×D₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	1	no	—
345	C₄	—	8	1	no	—
346	C₄	—	8	1	no	—
347	C₄	—	106	2	no	—
348	C₄	—	106	2	no	—
349	C₄	—	424	1	no	—
350	C₄	—	424	1	no	—
351	C₄	#16811054	1	2	yes	—
352	C₄	#16811291	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#16811427	1	1	yes	characteristic
354	C₂	—	16	2	no	—
355	C₂	—	848	2	no	—
356	C₂	#20287686	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#16811054	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20287855	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×D₈×D₅₃
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2207	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	#20276964	C₂
hypercenter	#2207	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33963
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄² ◁ C₄×C₈ ◁ #2207

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20287729	C₂	semidirect
2. #20287725	C₂	semidirect
3. #20276975	C₂	semidirect
5. #20276772	C₂	semidirect
6. #20276769	C₂	semidirect
7. #20276756	C₂	semidirect
8. #20276617	C₂	semidirect
9. C₄×#13133163	C₂	semidirect
10. #20276559	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2207	C₂	semidirect
182. #2207	D₅₃	semidirect
220. C₅₃	#33963	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287729	2
#20287725	2
#20276975	2
#20276964	2
#20276772	2
#20276769	2
#20276756	2
#20276617	2
C₄×#13133163	2
#20276559	2
C₅₃×#2207	2
#33963	53