Subgroups — #27542157

Order 13568.

510 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20287728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20287721	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276986	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20276778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276766	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20276761	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20276756	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#20276581	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×Dic₄₂₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2183	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811358	—	2	1	no	—
13	#16811352	—	2	1	no	—
14	C₂×Dic₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×Dic₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133162	C₂²	1	2	yes	—
19	#16811007	C₂²	1	2	yes	—
20	#16811003	C₂²	1	2	yes	—
21	#16811003	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16811000	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810839	—	2	2	no	—
24	#16810834	—	2	1	no	—
25	#16810834	—	2	2	no	—
26	#16810824	—	2	1	no	—
27	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810449	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810428	C₂²	1	2	yes	—
34	#16810428	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810425	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	C₅₃×#346	C₂²	1	2	yes	—
40	C₄×C₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×Dic₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
48	C₂×D₄₂₄	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133217	—	2	2	no	—
50	#13133217	—	2	1	no	—
51	#13133214	—	2	1	no	—
52	#13133208	—	4	1	no	—
53	#13133208	—	4	2	no	—
54	#13133206	—	4	1	no	—
55	#13133205	—	2	2	no	—
56	#13133202	—	4	2	no	—
57	Q₈×Dic₅₃	—	4	1	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
59	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
60	C₄×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
61	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
62	#13133179	—	4	1	no	—
63	Dic₄₂₄	—	2	2	no	—
64	Dic₄₂₄	—	4	2	no	—
65	#13133162	—	2	4	no	—
66	#13133162	—	4	2	no	—
67	#13133162	—	4	2	no	—
68	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#13133151	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#13133142	—	2	2	no	—
71	#13133142	—	2	1	no	—
72	#13133142	—	2	1	no	—
73	#13133139	—	2	2	no	—
74	C₄×Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₄⋊C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
80	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
83	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	1	no	—
86	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	1	yes	characteristic
94	C₄⋊C₄×C₅₃	D₈	1	2	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	#11719921	—	4	2	no	—
98	#11719921	—	4	2	no	—
99	#11719921	—	4	2	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	1	no	—
106	#11719919	—	4	1	no	—
107	#11719919	—	4	2	no	—
108	#11719919	—	4	1	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	1	no	—
112	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
113	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
114	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
115	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
116	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
117	Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
118	Dic₂₁₂	—	8	2	no	—
119	Dic₂₁₂	—	8	1	no	—
120	D₄₂₄	—	2	2	no	—
121	D₄₂₄	—	2	2	no	—
122	D₄₂₄	—	8	1	no	—
123	#11719913	—	8	2	no	—
124	C₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₁₆×C₅₃	#41	1	2	yes	—
127	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
128	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
139	D₂₁₂	—	4	2	no	—
140	D₂₁₂	—	4	2	no	—
141	D₂₁₂	—	8	2	no	—
142	D₂₁₂	—	16	1	no	—
143	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
144	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
146	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
147	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
152	C₈×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
153	C₈×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
154	#33967	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
162	C₄×C₅₃	#510	1	2	yes	—
163	C₄×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
165	Dic₅₃	—	8	1	no	—
166	Dic₅₃	—	8	2	no	—
167	Dic₅₃	—	8	1	no	—
168	Dic₅₃	—	8	1	no	—
169	Dic₅₃	—	8	1	no	—
170	#3396	—	53	1	no	—
171	#3395	—	53	1	no	—
172	#2251	—	53	2	no	—
173	#2248	—	53	1	no	—
174	#2211	—	53	2	no	—
175	#2209	—	53	1	no	—
176	#2208	—	53	2	no	—
177	#2207	—	53	1	no	—
178	#2183	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	#2175	—	53	2	no	—
180	C₄×Q₃₂	—	53	1	no	—
181	C₂×C₅₃	#3391	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#3416	1	1	yes	characteristic
184	D₅₃	—	16	2	no	—
185	#559	—	106	1	no	—
186	#557	—	106	1	no	—
187	C₂×Q₃₂	—	53	1	no	—
188	C₂×Q₃₂	—	53	2	no	—
189	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
190	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
191	C₂×SD₃₂	—	53	2	no	—
192	#495	—	53	2	no	—
193	#494	—	53	2	no	—
194	#494	—	53	1	no	—
195	#493	—	53	1	no	—
196	#463	—	106	2	no	—
197	#462	—	106	1	no	—
198	#462	—	106	2	no	—
199	#460	—	106	1	no	—
200	C₈×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
202	C₄×Q₁₆	—	53	2	no	—
203	C₄×Q₁₆	—	53	1	no	—
204	C₄×D₈	—	53	2	no	—
205	#366	—	53	1	no	—
206	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	#358	—	53	1	no	—
209	#358	—	53	1	no	—
210	#358	—	53	2	no	—
211	#357	—	53	2	no	—
212	#346	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₄×C₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₅₃	#33967	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
215	C₂×Q₁₆	—	53	2	no	—
216	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
217	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
219	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
220	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
221	C₂×D₈	—	53	2	no	—
222	C₂×D₈	—	106	1	no	—
223	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
224	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
225	#127	—	106	1	no	—
226	#125	—	212	1	no	—
227	#125	—	212	2	no	—
228	#124	—	106	2	no	—
229	#124	—	212	1	no	—
230	#123	—	212	2	no	—
231	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
232	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
233	C₄×Q₈	—	106	1	no	—
234	C₄×Q₈	—	212	1	no	—
235	C₄×Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
236	C₄×D₄	—	106	2	no	—
237	C₄×D₄	—	212	1	no	—
238	Q₃₂	—	106	2	no	—
239	Q₃₂	—	212	2	no	—
240	SD₃₂	—	106	4	no	—
241	SD₃₂	—	212	2	no	—
242	SD₃₂	—	212	2	no	—
243	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂×C₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#107	—	53	1	no	—
247	#107	—	53	1	no	—
248	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
250	#103	—	106	2	no	—
251	#103	—	106	1	no	—
252	#103	—	106	1	no	—
253	#102	—	106	2	no	—
254	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	C₄×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
256	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
259	C₂×Q₈	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	212	1	no	—
262	C₂×D₄	—	212	1	no	—
263	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
264	Q₁₆	—	106	2	no	—
265	Q₁₆	—	106	1	no	—
266	Q₁₆	—	106	1	no	—
267	Q₁₆	—	106	1	no	—
268	Q₁₆	—	106	2	no	—
269	Q₁₆	—	106	1	no	—
270	Q₁₆	—	424	1	no	—
271	Q₁₆	—	424	2	no	—
272	SD₁₆	—	424	2	no	—
273	D₈	—	106	2	no	—
274	D₈	—	106	2	no	—
275	D₈	—	424	1	no	—
276	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	1	no	—
288	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄⋊C₄	D₄₂₄	1	2	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
293	C₄²	—	212	1	no	—
294	C₄²	—	212	2	no	—
295	C₄²	—	212	1	no	—
296	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
297	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₁₆	—	2	1	no	—
299	C₁₆	—	2	2	no	—
300	C₁₆	#11719949	1	2	yes	—
301	C₂³	—	212	2	no	—
302	Q₈	—	2	2	no	—
303	Q₈	—	212	2	no	—
304	Q₈	—	212	1	no	—
305	Q₈	—	212	1	no	—
306	Q₈	—	212	1	no	—
307	Q₈	—	212	2	no	—
308	Q₈	—	212	1	no	—
309	D₄	—	848	1	no	—
310	D₄	—	424	2	no	—
311	D₄	—	212	2	no	—
312	D₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	848	2	no	—
314	C₂×C₄	—	212	1	no	—
315	C₂×C₄	—	212	1	no	—
316	C₂×C₄	—	212	1	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	1	no	—
319	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	1	no	—
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
327	C₈	#13133263	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	—	424	2	no	—
329	C₂²	—	424	2	no	—
330	C₂²	—	424	2	no	—
331	C₂²	C₂²×D₄₂₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	424	1	no	—
336	C₄	—	424	1	no	—
337	C₄	—	424	1	no	—
338	C₄	—	424	2	no	—
339	C₄	—	424	1	no	—
340	C₄	#16811066	1	2	yes	—
341	C₄	#16811295	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#16811428	1	1	yes	characteristic
343	C₂	—	848	2	no	—
344	C₂	#20287690	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#16811066	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20287863	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×D₄₂₄
commutator, cosocle	C₂×C₈×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2183	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈
prime radical	#16811000	C₂²
hypercenter	#2183	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#33967
LCS	G ▷ C₂×C₈×C₅₃ ▷ C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×Q₈ ◁ C₈×Q₈ ◁ #2183

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20287721	C₂	semidirect
3. #20276986	C₂	semidirect
5. #20276778	C₂	semidirect
6. #20276766	C₂	semidirect
7. #20276761	C₂	semidirect
9. #20276581	C₂	semidirect
10. C₄×Dic₄₂₄	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2183	C₂	semidirect
178. #2183	D₅₃	semidirect
214. C₅₃	#33967	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20287728	2
#20287721	2
#20276986	2
#20276971	2
#20276778	2
#20276766	2
#20276761	2
#20276756	2
#20276581	2
C₄×Dic₄₂₄	2
C₅₃×#2183	2
#33967	53