Subgroups — C₂×#20277678 #27543457

Order 13568.

2550 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₁₀₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277678	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
3	C₂×#16810529	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#16810504	C₂	1	4	yes	maximal
5	C₂×#16810490	C₂	1	2	yes	maximal
6	C₂×#16810489	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₂×#16810468	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810529	C₂²	1	16	yes	—
19	#16810504	C₂²	1	32	yes	—
20	#16810490	C₂²	1	16	yes	—
21	#16810489	C₂²	1	8	yes	—
22	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	16	yes	—
23	#16810468	C₂²	1	16	yes	—
24	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133124	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	8	yes	—
33	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	64	yes	complemented
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	16	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
53	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
54	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
55	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
56	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
57	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
69	#95×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
70	#95×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
100	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	16	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	#11719919	C₂²×C₄	1	32	yes	—
111	C₄×Dic₅₃	—	2	32	no	—
112	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	32	yes	—
113	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
117	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	16	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	8	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
148	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
149	C₂×#2356	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	4	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₄×#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₅₃	#519	1	4	yes	—
153	C₂²×C₅₃	#552	1	8	yes	—
154	C₂²×C₅₃	#556	1	8	yes	—
155	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
163	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
164	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	8	yes	—
165	Dic₅₃	—	2	8	no	—
166	Dic₅₃	—	2	8	no	—
167	Dic₅₃	—	4	8	no	—
168	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
169	#2356	—	53	16	no	—
170	C₂×#391	—	53	2	no	—
171	C₂×#387	—	53	4	no	—
172	C₂×#383	—	53	2	no	—
173	C₂×#382	—	53	1	no	—
174	C₂×C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
175	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×#376	—	53	2	no	—
177	C₂×C₅₃	#2356	1	8	yes	complemented
178	C₂×C₅₃	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	C₂×C₄×#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	C₂×#552	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	C₂×#556	1	2	yes	—
183	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
184	C₂×C₄×Q₈	—	53	16	no	—
185	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
186	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
187	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
188	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
191	C₂²×C₄²	—	53	4	no	—
192	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#391	—	53	16	no	—
195	#387	—	53	32	no	—
196	#383	—	53	16	no	—
197	#382	—	53	8	no	—
198	C₄×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
199	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	8	yes	—
200	#376	—	53	16	no	—
201	C₂×#95	—	53	2	no	—
202	C₂×#95	—	53	4	no	—
203	C₂×#95	—	53	4	no	—
204	C₂×#95	—	53	2	no	—
205	C₂×#95	—	53	4	no	—
206	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₅₃	C₂×#2356	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
210	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
212	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
216	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₄×Q₈	—	53	64	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
230	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
232	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
234	C₂×C₄²	—	106	16	no	—
235	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
238	#95	—	53	8	no	—
239	#95	—	53	16	no	—
240	#95	—	53	16	no	—
241	#95	—	53	8	no	—
242	#95	—	53	16	no	—
243	#95	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
244	#95	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	#11719945	1	8	yes	—
272	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
281	C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
283	C₄²	—	2	16	no	—
284	C₄²	—	53	32	no	—
285	C₄²	—	106	32	no	—
286	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂×#11719947	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#11719945	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#11719949	1	2	yes	—
291	C₂³	#13133264	1	4	yes	—
292	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	106	32	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	53	8	no	—
306	C₂×C₄	—	53	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	16	no	—
308	C₂×C₄	—	106	16	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	8	no	—
311	C₂×C₄	—	106	4	no	—
312	C₂×C₄	—	106	8	no	—
313	C₂×C₄	—	106	8	no	—
314	C₂×C₄	—	106	8	no	—
315	C₂×C₄	—	212	16	no	—
316	C₂×C₄	#13133175	1	16	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	8	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	4	yes	—
323	C₂²	C₂×#13133175	1	4	yes	—
324	C₂²	C₄×#11719945	1	4	yes	—
325	C₂²	#16811100	1	4	yes	—
326	C₂²	#16811313	1	8	yes	—
327	C₂²	#16811346	1	8	yes	—
328	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂²×#11719947	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×#11719945	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂²×#11719949	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#13133264	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	4	no	—
335	C₄	—	2	8	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	106	8	no	—
338	C₄	—	106	8	no	—
339	C₄	—	212	8	no	—
340	C₄	C₂×#13133175	1	8	yes	—
341	C₂	#20277678	1	8	yes	direct product factor
342	C₂	C₂²×#13133175	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×C₄×#11719945	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂×#16811100	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#16811313	1	2	yes	—
346	C₂	C₂×#16811346	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2356
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277678	C₂	direct (N × H)
11. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₄	semidirect
42. C₄×Dic₁₀₆	C₂×C₄	semidirect
177. C₂×C₅₃	#2356	semidirect
208. C₅₃	C₂×#2356	semidirect
341. C₂	#20277678	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₁₀₆	2
#20277678	2
C₂×#16810529	2
C₂×#16810504	2
C₂×#16810490	2
C₂×#16810489	2
C₂×C₄×C₄⋊Dic₅₃	2
C₂×#16810468	2
C₂×C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	2
C₂×#2356	53

Subgroups — C2×#20277678 #27543457

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20277678 #27543457