Subgroups — #27544115

Order 13568.

5126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Q₈×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×#11719921	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#20277299	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#20277094	C₂	1	6	yes	maximal
6	C₂×C₅₃×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	3	yes	—
8	C₂²×Q₈×D₅₃	—	2	8	no	—
9	C₂²×Q₈×D₅₃	—	2	8	no	—
10	C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂²×Q₈×D₅₃	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	3	yes	—
13	#16811101	—	2	8	no	—
14	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133176	C₂²	1	6	yes	—
16	#16810529	C₂²	1	24	yes	complemented
17	#16810528	C₂²	1	24	yes	complemented
18	#16810484	C₂²	1	12	yes	—
19	#16810480	C₂²	1	24	yes	—
20	#16810478	C₂²	1	4	yes	—
21	C₄×#11719921	C₂²	1	24	yes	—
22	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#519	—	2	8	no	—
24	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	24	yes	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	12	yes	—
31	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	128	no	—
32	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
33	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
34	C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	1	64	yes	—
35	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
36	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
38	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	24	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
40	Q₈×Dic₅₃	—	2	32	no	—
41	#13133176	—	2	24	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
43	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×#11719921	C₂³	1	16	yes	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
46	#13133124	C₂³	1	48	yes	—
47	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
50	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
52	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
53	#117×C₅₃	—	2	24	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
62	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
64	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
65	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
75	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
76	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
77	Q₈×D₅₃	—	2	256	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	2	96	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
81	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	48	yes	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	48	yes	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
87	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	24	no	—
89	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
90	#11719921	—	2	32	no	—
91	C₄⋊Dic₅₃	—	2	24	no	—
92	C₄×Dic₅₃	—	2	24	no	—
93	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
95	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
99	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
100	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
105	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×D₅₃	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
107	Q₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	12	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
114	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
115	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
116	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
119	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	12	yes	—
120	C₄×D₅₃	—	2	96	no	—
121	Dic₁₀₆	—	2	96	no	—
122	#34173	—	53	1	no	maximal, Sylow
123	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
131	C₂×D₅₃	—	2	32	no	—
132	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×D₅₃	#519	1	8	yes	complemented
137	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
138	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
139	Dic₅₃	—	2	12	no	—
140	Dic₅₃	—	4	8	no	—
141	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
142	C₂×#519	—	53	1	no	—
143	C₂×#519	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
144	Q₈×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
145	#2310	—	53	6	no	—
146	#2280	—	53	6	no	—
147	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	2	yes	—
150	C₂×C₅₃	#3486	1	2	yes	—
151	C₂×C₅₃	#3486	1	2	yes	—
152	D₅₃	—	2	8	no	—
153	C₂³×Q₈	—	53	16	no	—
154	C₂³×Q₈	—	53	8	no	—
155	C₂³×Q₈	—	53	3	no	—
156	C₂³×Q₈	—	106	8	no	—
157	C₂³×Q₈	—	106	8	no	—
158	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
159	C₂⁴×C₄	—	53	3	no	—
160	#519	—	2	8	no	—
161	#519	—	106	8	no	—
162	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
163	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	8	yes	complemented
164	C₂×#117	—	53	6	no	—
165	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
166	#391	—	53	24	no	—
167	#391	—	53	24	no	—
168	#381	—	53	12	no	—
169	#380	—	53	24	no	—
170	#379	—	53	4	no	—
171	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
172	C₅₃	#34173	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
173	C₂⁵	—	53	1	no	—
174	C₂²×Q₈	—	53	64	no	—
175	C₂²×Q₈	—	53	24	no	—
176	C₂²×Q₈	—	53	12	no	—
177	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
178	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
179	C₂²×Q₈	—	106	128	no	—
180	C₂²×Q₈	—	106	12	no	—
181	C₂²×Q₈	—	106	12	no	—
182	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
183	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	8	yes	—
184	C₂²×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
185	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
186	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
187	C₂³×C₄	—	53	24	no	—
188	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
189	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
190	C₂³×C₄	—	106	12	no	—
191	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
192	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
193	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
194	#117	—	2	24	no	—
195	#117	—	106	24	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	53	12	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
201	C₂×C₄²	—	53	12	no	—
202	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
203	#95	—	53	48	no	—
204	C₂⁴	—	53	2	no	—
205	C₂⁴	—	53	4	no	—
206	C₂⁴	—	106	8	no	—
207	C₂⁴	—	106	2	no	—
208	C₂⁴	—	106	2	no	—
209	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	—	53	48	no	—
211	C₂×Q₈	—	106	256	no	—
212	C₂×Q₈	—	106	96	no	—
213	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
214	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
215	C₂×Q₈	#11719921	1	64	yes	complemented
216	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
217	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	16	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	16	yes	—
219	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
220	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
221	C₂²×C₄	—	53	48	no	—
222	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	106	96	no	—
226	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
228	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	12	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	12	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
233	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
234	C₄⋊C₄	—	106	24	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
238	C₄²	—	2	24	no	—
239	C₄²	—	106	24	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	53	4	no	—
242	C₂³	—	53	8	no	—
243	C₂³	—	106	16	no	—
244	C₂³	—	106	16	no	—
245	C₂³	—	106	16	no	—
246	C₂³	—	106	8	no	—
247	C₂³	—	106	2	no	—
248	C₂³	—	106	2	no	—
249	C₂³	—	106	4	no	—
250	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	106	96	no	—
255	Q₈	C₂×#11719921	1	64	yes	—
256	C₂×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂×C₄	—	53	12	no	—
259	C₂×C₄	—	106	24	no	—
260	C₂×C₄	—	106	6	no	—
261	C₂×C₄	—	106	6	no	—
262	C₂×C₄	—	106	96	no	—
263	C₂×C₄	—	106	8	no	—
264	C₂×C₄	—	106	16	no	—
265	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	48	yes	—
266	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	12	yes	—
267	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
268	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	12	yes	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	4	no	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	53	8	no	—
273	C₂²	—	106	32	no	—
274	C₂²	—	106	8	no	—
275	C₂²	—	106	8	no	—
276	C₂²	—	106	4	no	—
277	C₂²	—	106	4	no	—
278	C₂²	C₂²×#11719921	1	4	yes	—
279	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	2₋¹⁺⁴×D₅₃	1	4	yes	—
283	C₄	—	4	8	no	—
284	C₄	—	106	12	no	—
285	C₄	—	212	8	no	—
286	C₄	C₂²×#11719921	1	24	yes	—
287	C₂	—	2	4	no	—
288	C₂	—	106	8	no	—
289	C₂	C₂³×#11719921	1	1	yes	characteristic
290	C₂	#519×D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂	#20288363	1	2	yes	—
292	C₂	#20288367	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#519	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂³
hypercenter	C₂×#519	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34173
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#519

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16811101	C₂	semidirect
3. Q₈×#11719921	C₂	semidirect
4. #20277299	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#519	C₂	semidirect
10. C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	semidirect
14. C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
16. #16810529	C₂²	semidirect
17. #16810528	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	semidirect
63. C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
136. C₂×D₅₃	#519	semidirect
143. C₂×#519	D₅₃	semidirect
163. C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	semidirect
172. C₅₃	#34173	semidirect
215. C₂×Q₈	#11719921	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Q₈×D₅₃	2
C₂×#16811101	2
Q₈×#11719921	2
#20277299	2
#20277094	2
C₂×C₅₃×#519	2
#34173	53