Subgroups — #27544116

Order 13568.

5126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Q₈×D₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811100	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277549	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#20277301	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20277300	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20277095	C₂	1	4	yes	maximal
7	#20277094	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₅₃×#2310	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×Q₈×D₅₃	—	2	16	no	—
12	C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	1	16	yes	complemented
13	C₂²×Q₈×D₅₃	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811100	—	2	16	no	—
17	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	8	yes	complemented
18	C₂×#13133182	C₂²	1	8	yes	complemented
19	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133173	C₂²	1	8	yes	—
21	#16810530	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#16810527	C₂²	1	32	yes	complemented
23	#16810486	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810484	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810482	C₂²	1	16	yes	—
26	#16810480	C₂²	1	8	yes	—
27	#16810478	C₂²	1	4	yes	—
28	C₄×#11719921	C₂²	1	8	yes	—
29	#16810470	C₂²	1	16	yes	—
30	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₅₃×#391	C₂²	1	8	yes	complemented
33	C₅₃×#381	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	16	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	8	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	128	no	—
42	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
43	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	32	no	—
44	C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	1	64	yes	—
45	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
49	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
50	C₂²×C₄×D₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	—
51	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₄×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
54	#13133182	—	2	32	no	—
55	#13133176	—	2	8	no	—
56	#13133173	—	2	32	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#11719919	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#11719921	C₂³	1	16	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
63	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
64	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
67	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#117×C₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
74	#95×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
75	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂³×D₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
95	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
98	Q₈×D₅₃	—	2	256	no	—
99	C₂×C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	2	8	no	—
102	C₂×C₄×D₅₃	—	2	64	no	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
104	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
105	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	32	yes	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
109	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	32	yes	—
110	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
111	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
112	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
117	#11719921	—	2	32	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
119	#11719919	—	2	32	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	2	32	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
131	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×D₅₃	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
133	Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
147	C₂×Dic₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
151	C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
152	C₄×D₅₃	—	2	64	no	—
153	Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
154	Dic₁₀₆	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
155	#34173	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
162	C₂×D₅₃	—	2	32	no	—
163	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
165	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
166	C₂×D₅₃	#519	1	8	yes	complemented
167	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
168	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
169	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
170	Dic₅₃	—	2	4	no	—
171	Dic₅₃	—	4	8	no	—
172	Dic₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
173	C₂⁴×Q₈	—	53	1	no	—
174	C₂×#519	—	53	2	no	—
175	Q₈×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
176	#2310	—	53	4	no	—
177	#2310	—	53	1	no	—
178	#2310	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	#2280	—	53	4	no	—
180	#2280	—	53	2	no	—
181	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
182	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	2	yes	—
184	C₂×C₅₃	#3486	1	4	yes	—
185	D₅₃	—	2	8	no	—
186	C₂³×Q₈	—	53	16	no	—
187	C₂³×Q₈	—	53	8	no	—
188	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
189	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
190	C₂³×Q₈	—	106	16	no	—
191	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
193	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
194	#519	—	106	16	no	—
195	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
197	C₂×#117	—	53	2	no	—
198	C₂×#117	—	53	8	no	—
199	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#391	—	53	8	no	—
201	#391	—	53	32	no	—
202	#391	C₂×D₅₃	1	8	yes	complemented
203	#381	—	53	4	no	—
204	#381	—	53	4	no	—
205	#381	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
206	#380	—	53	8	no	—
207	#380	—	53	16	no	—
208	#379	—	53	4	no	—
209	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
210	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
211	C₅₃	#34173	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
212	C₂⁵	—	53	1	no	—
213	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
214	C₂²×Q₈	—	53	64	no	—
215	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
216	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
217	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
218	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
219	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
220	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
221	C₂²×Q₈	—	106	128	no	—
222	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
223	C₂²×Q₈	—	106	32	no	—
224	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
225	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
227	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	53	16	no	—
229	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
230	C₂³×C₄	—	53	8	no	—
231	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
232	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
233	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
237	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
238	#117	—	2	8	no	—
239	#117	—	106	32	no	—
240	#117	—	106	8	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
246	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
248	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
250	#95	—	53	16	no	—
251	#95	—	53	16	no	—
252	#95	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
253	C₂⁴	—	53	2	no	—
254	C₂⁴	—	53	4	no	—
255	C₂⁴	—	106	8	no	—
256	C₂⁴	—	106	4	no	—
257	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
261	C₂×Q₈	—	53	64	no	—
262	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
263	C₂×Q₈	—	53	32	no	—
264	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
265	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	256	no	—
269	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
270	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	32	no	—
277	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	106	64	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
285	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
297	C₄²	—	2	8	no	—
298	C₄²	—	106	32	no	—
299	C₄²	—	106	8	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	53	4	no	—
302	C₂³	—	53	8	no	—
303	C₂³	—	106	16	no	—
304	C₂³	—	106	32	no	—
305	C₂³	—	106	8	no	—
306	C₂³	—	106	4	no	—
307	C₂³	—	106	4	no	—
308	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
309	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
310	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	Q₈	—	2	32	no	—
312	Q₈	—	53	64	no	—
313	Q₈	—	106	64	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	53	32	no	—
319	C₂×C₄	—	53	8	no	—
320	C₂×C₄	—	53	16	no	—
321	C₂×C₄	—	53	4	no	—
322	C₂×C₄	—	106	64	no	—
323	C₂×C₄	—	106	8	no	—
324	C₂×C₄	—	106	4	no	—
325	C₂×C₄	—	106	32	no	—
326	C₂×C₄	—	106	8	no	—
327	C₂×C₄	—	106	16	no	—
328	C₂×C₄	C₂²⋊C₄×D₅₃	1	16	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
333	C₂²	—	2	8	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	53	8	no	—
336	C₂²	—	106	32	no	—
337	C₂²	—	106	16	no	—
338	C₂²	—	106	4	no	—
339	C₂²	—	106	4	no	—
340	C₂²	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
341	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
343	C₂²	2₋¹⁺⁴×D₅₃	1	4	yes	—
344	C₄	—	2	8	no	—
345	C₄	—	4	8	no	—
346	C₄	—	53	16	no	—
347	C₄	—	106	4	no	—
348	C₄	—	212	8	no	—
349	C₄	C₂×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
350	C₂	—	2	4	no	—
351	C₂	—	106	8	no	—
352	C₂	C₂²×C₂²⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#519×D₅₃	1	2	yes	—
354	C₂	#20288364	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₅₃×#2310	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₅₃	C₂³
hypercenter	#2310	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34173
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2310

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16811100	C₂	semidirect
3. #20277549	C₂	semidirect
4. #20277301	C₂	semidirect
5. #20277300	C₂	semidirect
8. C₅₃×#2310	C₂	semidirect
12. C₂²×Q₈×D₅₃	C₄	semidirect
17. C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	semidirect
18. C₂×#13133182	C₂²	semidirect
21. #16810530	C₂²	semidirect
22. #16810527	C₂²	semidirect
32. C₅₃×#391	C₂²	semidirect
108. C₂×Dic₁₀₆	C₂²⋊C₄	semidirect
166. C₂×D₅₃	#519	semidirect
178. #2310	D₅₃	semidirect
202. #391	C₂×D₅₃	semidirect
211. C₅₃	#34173	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Q₈×D₅₃	2
C₂×#16811100	2
#20277549	2
#20277301	2
#20277300	2
#20277095	2
#20277094	2
C₅₃×#2310	2
#34173	53