Subgroups — #27544188

Order 13568.

2858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811100	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂²×#13133182	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20277634	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20277629	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20277333	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20277332	C₂	1	4	yes	maximal
7	#20277118	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20277117	C₂	1	4	yes	maximal
9	C₅₃×#2316	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#16811100	—	2	16	no	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×#13133182	C₄	1	16	yes	complemented
14	C₂×#13133182	C₂²	1	8	yes	—
15	C₂×#13133182	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133182	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133173	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810522	C₂²	1	8	yes	—
23	#16810520	C₂²	1	16	yes	—
24	#16810518	C₂²	1	16	yes	—
25	#16810492	C₂²	1	8	yes	—
26	#16810492	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810488	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810487	C₂²	1	8	yes	—
29	#16810483	C₂²	1	4	yes	—
30	#16810481	C₂²	1	4	yes	—
31	#16810481	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	8	yes	—
33	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
35	#16810474	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#389	C₂²	1	8	yes	—
39	C₅₃×#380	C₂²	1	4	yes	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	Q₈	1	8	yes	—
43	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₄×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
48	#13133182	—	2	32	no	—
49	#13133182	C₂×C₄	1	32	yes	—
50	#13133182	C₂×C₄	1	32	yes	—
51	#13133176	—	2	8	no	—
52	#13133173	—	2	32	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	16	yes	—
56	C₂×#11719919	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
64	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
69	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
70	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
71	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#117×C₅₃	—	2	8	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
81	#95×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
82	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
96	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
98	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
99	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
101	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
102	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂×Dic₁₀₆	C₄⋊C₄	1	64	yes	complemented
104	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
105	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	16	yes	—
106	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	16	yes	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
110	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
111	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
115	#11719919	—	2	32	no	—
116	#11719919	—	2	16	no	—
117	#11719919	—	4	8	no	—
118	#11719919	C₂²×C₄	1	32	yes	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	2	32	no	—
121	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
122	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
123	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
124	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
129	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×Dic₅₃	C₂×C₄⋊C₄	1	32	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
156	Dic₁₀₆	C₂×C₄⋊C₄	1	64	yes	—
157	#34182	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
167	C₂²×C₅₃	#585	1	2	yes	—
168	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
169	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
170	C₄×C₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	Dic₅₃	—	2	4	no	—
173	Dic₅₃	—	4	8	no	—
174	Dic₅₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	16	yes	—
175	Dic₅₃	#519	1	4	yes	complemented
176	C₂×#519	—	53	2	no	—
177	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
178	#2351	—	53	8	no	—
179	Q₈×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
180	#2316	—	53	4	no	—
181	#2316	—	53	1	no	—
182	#2316	D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	#2285	—	53	4	no	—
184	#2285	—	53	2	no	—
185	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
186	C₂×C₅₃	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3428	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	#3497	1	2	yes	—
190	C₂×C₅₃	#3502	1	2	yes	—
191	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
192	#519	—	106	16	no	—
193	C₂×C₄×Q₈	—	53	16	no	—
194	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
195	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
196	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
197	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
198	C₂×#117	—	53	2	no	—
199	C₂×#117	—	53	8	no	—
200	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
202	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
204	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
205	#389	—	53	16	no	—
206	#389	—	53	8	no	—
207	#389	—	53	16	no	—
208	#389	C₂×D₅₃	1	8	yes	—
209	#384	—	53	8	no	—
210	#384	—	53	4	no	—
211	#382	—	53	4	no	—
212	#382	—	53	8	no	—
213	#380	—	53	4	no	—
214	#380	—	53	4	no	—
215	#380	—	53	4	no	—
216	#380	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
217	C₄×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
218	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
219	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
220	C₄×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
221	C₅₃	#34182	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
223	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
224	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
225	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
226	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
227	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
228	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
229	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₄×Q₈	—	53	32	no	—
232	C₄×Q₈	—	53	32	no	—
233	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
234	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
235	#117	—	2	8	no	—
236	#117	—	106	32	no	—
237	#117	—	106	8	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
247	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
248	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
251	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
252	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
253	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
254	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
255	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
256	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
257	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
258	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
259	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
260	#95	—	53	8	no	—
261	#95	—	53	8	no	—
262	#95	—	53	8	no	—
263	#95	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
264	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×Q₈	—	53	64	no	—
266	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
267	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
268	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
285	C₂²×C₄	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
289	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
295	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
297	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	53	16	no	—
302	C₄²	—	53	8	no	—
303	C₄²	—	53	16	no	—
304	C₄²	—	53	8	no	—
305	C₄²	—	106	32	no	—
306	C₄²	—	106	8	no	—
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	53	64	no	—
314	C₂×C₄	—	2	8	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	53	32	no	—
320	C₂×C₄	—	53	2	no	—
321	C₂×C₄	—	53	8	no	—
322	C₂×C₄	—	53	8	no	—
323	C₂×C₄	—	53	8	no	—
324	C₂×C₄	—	53	4	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	53	4	no	—
327	C₂×C₄	—	106	8	no	—
328	C₂×C₄	—	106	2	no	—
329	C₂×C₄	—	106	4	no	—
330	C₂×C₄	—	106	8	no	—
331	C₂×C₄	—	106	8	no	—
332	C₂×C₄	—	106	8	no	—
333	C₂×C₄	—	212	4	no	—
334	C₂×C₄	C₄⋊C₄×D₅₃	1	16	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	4	yes	—
344	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂²×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	2₋¹⁺⁴×D₅₃	1	2	yes	—
348	C₂²	#16811458	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	8	no	—
350	C₄	—	4	8	no	—
351	C₄	—	53	16	no	—
352	C₄	—	53	4	no	—
353	C₄	—	106	2	no	—
354	C₄	—	106	4	no	—
355	C₄	—	212	8	no	—
356	C₄	C₂×C₄⋊C₄×D₅₃	1	8	yes	—
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	C₂²×C₄⋊C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#519×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20287913	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#20288484	1	2	yes	—
362	C₂	#20288523	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₅₃×#2316	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2316	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34182
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2316

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277634	C₂	semidirect
4. #20277629	C₂	semidirect
13. C₂×#13133182	C₄	semidirect
103. C₂×Dic₁₀₆	C₄⋊C₄	semidirect
175. Dic₅₃	#519	semidirect
221. C₅₃	#34182	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811100	2
C₂²×#13133182	2
#20277634	2
#20277629	2
#20277333	2
#20277332	2
#20277118	2
#20277117	2
C₅₃×#2316	2
#34182	53