Subgroups — #27544224

Order 13568.

2250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133182	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277676	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	#20277668	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20277315	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20277299	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20277118	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20277109	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20277072	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#2274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133182	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×#13133182	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133182	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#11719919	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810529	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810528	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810507	C₂²	1	16	yes	—
21	#16810505	C₂²	1	16	yes	—
22	#16810492	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810490	C₂²	1	8	yes	—
24	#16810488	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810487	C₂²	1	8	yes	—
26	#16810484	C₂²	1	8	yes	—
27	#16810481	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810481	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	8	yes	—
30	C₄×#11719919	C₂²	1	8	yes	—
31	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
32	C₄×#11719919	C₂²	1	4	yes	—
33	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
34	#16810469	C₂²	1	8	yes	—
35	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	8	yes	—
38	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#13133182	C₂×C₄	1	32	yes	—
46	#13133182	C₂×C₄	1	32	yes	—
47	#13133176	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂×#11719919	C₂×C₄	1	16	yes	—
50	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
52	C₂×#11719919	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	16	yes	—
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
63	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
64	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
65	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
66	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#117×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
76	#95×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
95	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
102	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	4	8	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
107	#11719919	—	2	16	no	—
108	#11719919	—	4	8	no	—
109	#11719919	C₂²×C₄	1	32	yes	—
110	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	8	no	—
112	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
113	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
114	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
115	C₄×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#117	1	16	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
145	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
146	#34187	—	53	1	no	maximal, Sylow
147	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#117	1	4	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	#585	1	2	yes	—
155	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
156	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
157	C₄×C₅₃	C₂×#117	1	8	yes	—
158	Dic₅₃	—	2	8	no	—
159	Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	Dic₅₃	—	2	4	no	—
161	Dic₅₃	—	4	8	no	—
162	Dic₅₃	#519	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
164	#2356	—	53	8	no	—
165	#2355	—	53	8	no	—
166	#2313	—	53	4	no	—
167	#2310	—	53	2	no	—
168	#2285	—	53	2	no	—
169	#2283	—	53	4	no	—
170	#2274	—	53	1	no	—
171	#2274	D₅₃	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×C₅₃	C₂²×#117	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3428	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	#3507	1	4	yes	—
177	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	—	53	16	no	—
179	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
180	C₂×C₄×Q₈	—	53	4	no	—
181	C₂×#117	—	53	2	no	—
182	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
184	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
186	C₂²×C₄²	—	53	1	no	—
187	#391	—	53	8	no	—
188	#391	—	53	8	no	—
189	#387	—	53	16	no	—
190	#387	—	53	16	no	—
191	#384	—	53	4	no	—
192	#383	—	53	8	no	—
193	#382	—	53	4	no	—
194	#382	—	53	8	no	—
195	#381	—	53	8	no	—
196	#380	—	53	4	no	—
197	#380	—	53	4	no	—
198	C₄×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
199	C₄×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
200	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
202	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	8	yes	—
203	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
204	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
205	#376	—	53	8	no	—
206	C₅₃	#34187	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
207	C₂²×Q₈	—	53	8	no	—
208	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
209	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
210	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
211	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
212	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
213	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₄×Q₈	—	53	32	no	—
216	C₄×Q₈	—	53	32	no	—
217	#117	—	2	8	no	—
218	#117	—	106	8	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
225	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
229	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
230	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
231	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
232	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
235	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
236	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
238	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
239	#95	—	53	8	no	—
240	#95	—	53	16	no	—
241	#95	—	53	8	no	—
242	#95	—	53	8	no	—
243	#95	—	53	16	no	—
244	#95	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
245	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	32	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
249	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
253	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
264	C₂²×C₄	#11719945	1	8	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
270	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
276	C₄²	—	2	8	no	—
277	C₄²	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	53	8	no	—
279	C₄²	—	53	16	no	—
280	C₄²	—	53	8	no	—
281	C₄²	—	53	16	no	—
282	C₄²	—	106	8	no	—
283	C₄²	—	212	8	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂³	C₂×#11719945	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	106	32	no	—
290	C₂×C₄	—	2	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	53	2	no	—
296	C₂×C₄	—	53	4	no	—
297	C₂×C₄	—	53	2	no	—
298	C₂×C₄	—	53	4	no	—
299	C₂×C₄	—	53	8	no	—
300	C₂×C₄	—	106	8	no	—
301	C₂×C₄	—	106	16	no	—
302	C₂×C₄	—	106	8	no	—
303	C₂×C₄	—	106	2	no	—
304	C₂×C₄	—	106	4	no	—
305	C₂×C₄	—	106	8	no	—
306	C₂×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	8	no	—
308	C₂×C₄	—	212	4	no	—
309	C₂×C₄	#13133174	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	4	yes	—
314	C₂²	—	2	8	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	C₂×#13133174	1	4	yes	—
318	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×#11719945	1	2	yes	—
320	C₂²	2₋¹⁺⁴×D₅₃	1	2	yes	—
321	C₂²	#16811458	1	2	yes	—
322	C₄	—	2	8	no	—
323	C₄	—	4	8	no	—
324	C₄	—	53	4	no	—
325	C₄	—	106	8	no	—
326	C₄	—	106	2	no	—
327	C₄	—	106	4	no	—
328	C₄	—	212	8	no	—
329	C₄	C₂×#13133174	1	8	yes	—
330	C₂	—	2	4	no	—
331	C₂	C₂²×#13133174	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#519×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20287913	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20288573	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₅₃×#2274	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	#2274	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34187
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2274

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277676	C₂	semidirect
3. #20277668	C₂	semidirect
11. C₂×#13133182	C₄	semidirect
206. C₅₃	#34187	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133182	2
#20277676	2
#20277668	2
#20277315	2
#20277299	2
#20277118	2
#20277109	2
#20277072	2
C₅₃×#2274	2
#34187	53