Subgroups — #27544488

Order 13568.

2854 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16811100	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20277773	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#20277582	C₂	1	8	yes	maximal
5	#20277434	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20277299	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×#13133217	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#20277122	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₄×#117×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133217	C₄	1	16	yes	complemented
12	C₂×#13133217	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811100	—	2	16	no	—
16	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#13133182	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133173	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
21	#16810529	C₂²	1	8	yes	—
22	#16810528	C₂²	1	8	yes	—
23	#16810521	C₂²	1	16	yes	—
24	#16810508	C₂²	1	32	yes	—
25	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810484	C₂²	1	8	yes	—
28	#16810483	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	4	yes	—
30	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	16	yes	—
31	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
35	C₄×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
36	C₅₃×#376	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄³×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	#13133217	C₂×C₄	1	32	yes	—
45	#13133217	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	#13133217	C₂×C₄	1	16	yes	—
47	C₄×Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
48	#13133182	—	2	32	no	—
49	#13133176	—	2	8	no	—
50	#13133173	—	2	32	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂×C₄	1	32	yes	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
56	C₂×#11719919	C₂³	1	16	yes	—
57	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	16	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
60	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
61	#13133124	C₂³	1	32	yes	—
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
65	#117×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	#95×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
78	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	64	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
101	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	16	yes	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	16	no	—
108	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
110	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	32	yes	—
116	C₄⋊Dic₅₃	C₂²×C₄	1	32	yes	—
117	#11719919	—	2	32	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	32	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
124	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₄×D₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	8	yes	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	32	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	16	yes	—
147	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
148	Dic₁₀₆	—	2	32	no	—
149	#34209	—	53	1	no	maximal, Sylow
150	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
158	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
160	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
161	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
162	C₄×C₅₃	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
163	C₄×C₅₃	#519	1	8	yes	complemented
164	Dic₅₃	—	2	16	no	—
165	Dic₅₃	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
167	C₂×#519	—	53	2	no	—
168	#2365	—	53	8	no	—
169	#2344	—	53	8	no	—
170	#2327	—	53	4	no	—
171	#2310	—	53	2	no	—
172	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
173	#2285	—	53	1	no	—
174	C₄×#117	D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
176	C₂×C₅₃	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	C₂×#519	1	2	yes	—
178	C₂×C₅₃	#3499	1	2	yes	—
179	C₂×C₅₃	#3509	1	2	yes	—
180	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
181	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	16	no	—
182	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
183	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
185	#519	—	106	16	no	—
186	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
188	C₂×#117	—	53	2	no	—
189	C₂×#117	—	53	8	no	—
190	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
193	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#391	—	53	8	no	—
195	#391	—	53	8	no	—
196	#389	—	53	16	no	—
197	#387	—	53	32	no	—
198	#384	—	53	2	no	—
199	#382	—	53	2	no	—
200	#381	—	53	8	no	—
201	#380	—	53	4	no	—
202	C₄×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
203	C₄×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
204	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
206	#376	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₄³	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₅₃	#34209	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂²×Q₈	—	53	16	no	—
210	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
211	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
212	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
213	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊Q₈	—	53	16	no	—
218	C₄⋊Q₈	—	53	16	no	—
219	C₄⋊Q₈	—	53	32	no	—
220	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
221	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
222	#117	—	2	4	no	—
223	#117	—	106	8	no	—
224	#117	—	106	32	no	—
225	#117	D₂₁₂	1	8	yes	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	16	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
237	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
238	C₂×C₄²	—	53	4	no	—
239	C₂×C₄²	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
246	#95	—	53	8	no	—
247	#95	—	53	32	no	—
248	#95	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
249	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
251	C₂×Q₈	—	53	16	no	—
252	C₂×Q₈	—	106	64	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
275	C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
276	C₄⋊C₄	—	106	32	no	—
277	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
279	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
282	C₂²⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	16	no	—
285	C₄²	—	106	32	no	—
286	C₄²	—	106	8	no	—
287	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
288	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	8	yes	—
289	C₄²	C₂×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
290	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
291	C₂³	—	2	4	no	—
292	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#11719945	1	2	yes	—
295	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	106	32	no	—
297	Q₈	—	106	32	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	16	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	53	16	no	—
304	C₂×C₄	—	106	32	no	—
305	C₂×C₄	—	106	8	no	—
306	C₂×C₄	—	106	8	no	—
307	C₂×C₄	—	106	8	no	—
308	C₂×C₄	—	106	16	no	—
309	C₂×C₄	C₄×D₂₁₂	1	16	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133264	1	8	yes	—
320	C₂²	—	2	4	no	—
321	C₂²	—	2	4	no	—
322	C₂²	—	2	4	no	—
323	C₂²	C₂×C₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
324	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂²×#11719945	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×#13133264	1	4	yes	—
328	C₄	—	2	4	no	—
329	C₄	—	2	8	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	106	16	no	—
332	C₄	—	212	8	no	—
333	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
334	C₄	C₂×C₄×D₂₁₂	1	4	yes	—
335	C₄	#16811100	1	8	yes	complemented
336	C₂	—	2	4	no	—
337	C₂	C₂²×C₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
338	C₂	C₂×#16811100	1	2	yes	—
339	C₂	#20288500	1	2	yes	—
340	C₂	#20288601	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₄×#117×C₅₃	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₄×#117	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34209
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×#117

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20277773	C₂	semidirect
5. #20277434	C₂	semidirect
7. C₄×#13133217	C₂	semidirect
11. C₂×#13133217	C₄	semidirect
163. C₄×C₅₃	#519	semidirect
208. C₅₃	#34209	semidirect
335. C₄	#16811100	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133217	2
C₂×#16811100	2
#20277773	2
#20277582	2
#20277434	2
#20277299	2
C₄×#13133217	2
#20277122	2
C₄×#117×C₅₃	2
#34209	53