Subgroups — #27545125

Order 13568.

5050 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133265	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×Q₈×Dic₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20277553	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	Q₈×#11719921	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#20277303	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#20277203	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×#519	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133265	—	2	8	no	—
9	C₂×#13133265	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133265	C₄	1	16	yes	complemented
11	C₂²×#11719949	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719945	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂²×Q₈×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×Q₈×Dic₅₃	—	2	8	no	—
15	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
17	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
18	#16810529	C₂²	1	12	yes	—
19	#16810528	C₂²	1	12	yes	—
20	#16810525	C₂²	1	12	yes	—
21	#16810524	C₂²	1	12	yes	—
22	#16810500	C₂²	1	12	yes	—
23	#16810500	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810480	C₂²	1	24	yes	—
25	C₄×#11719921	C₂²	1	24	yes	—
26	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#519	—	2	8	no	—
28	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	8	yes	—
29	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	6	yes	—
30	#13133265	—	2	128	no	—
31	C₂×#11719949	—	2	16	no	—
32	C₂×#11719949	—	2	16	no	—
33	C₂×#11719949	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
34	C₂×#11719945	—	2	24	no	—
35	C₂×#11719945	—	2	24	no	—
36	C₂×#11719945	C₂×C₄	1	48	yes	—
37	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	6	yes	—
38	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	16	no	—
39	C₂×Q₈×D₅₃	—	2	16	no	—
40	C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	1	32	yes	complemented
41	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	6	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
46	Q₈×Dic₅₃	—	2	32	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂×#11719921	C₂³	1	8	yes	—
50	C₂×#11719921	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	12	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
53	#13133124	C₂³	1	8	yes	—
54	#13133124	C₂³	1	24	yes	—
55	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
57	C₂²×Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
58	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
60	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
61	#117×C₅₃	—	2	24	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
65	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	1	64	yes	complemented
68	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
77	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	C₂²×C₄	1	16	yes	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
86	#11719949	—	2	128	no	—
87	Q₈×D₅₃	—	2	128	no	—
88	#11719945	—	2	192	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
91	C₂×D₂₁₂	C₂²×C₄	1	24	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	C₂²×C₄	1	48	yes	—
95	C₂×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	C₂²×C₄	1	24	yes	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
99	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	24	no	—
101	#11719921	—	2	16	no	—
102	#11719921	—	4	24	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	24	no	—
104	C₄×Dic₅₃	—	2	24	no	—
105	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂²×D₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
116	Q₈×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	64	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	12	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
124	C₂²⋊D₅₃	—	2	32	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
133	C₂×Dic₅₃	C₂³×C₄	1	8	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	complemented
135	D₂₁₂	—	2	48	no	—
136	C₄×D₅₃	—	2	96	no	—
137	Dic₁₀₆	—	2	48	no	—
138	#34257	—	53	1	no	maximal, Sylow
139	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
148	C₂²×C₅₃	#585	1	2	yes	—
149	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
150	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
154	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
155	C₄×C₅₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
156	Dic₅₃	—	2	8	no	—
157	Dic₅₃	—	2	4	no	—
158	Dic₅₃	—	4	6	no	—
159	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	53	1	no	—
160	C₂×#519	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
161	C₂²×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
162	#2341	—	53	8	no	—
163	Q₈×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
164	#2311	—	53	6	no	—
165	#2297	—	53	6	no	—
166	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂×C₅₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	C₄×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
169	C₂×C₅₃	#3486	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	#3487	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	#3497	1	2	yes	—
172	D₅₃	—	4	8	no	—
173	C₂×2₋¹⁺⁴	—	53	16	no	—
174	C₂×2₋¹⁺⁴	—	106	8	no	—
175	C₂×2₋¹⁺⁴	—	106	8	no	—
176	C₂²×#41	—	53	4	no	—
177	C₂²×#41	—	53	6	no	—
178	C₂³×Q₈	—	53	4	no	—
179	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#519	—	2	8	no	—
181	C₂×C₄×Q₈	—	53	8	no	—
182	C₂×C₄×Q₈	—	106	8	no	—
183	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	8	yes	—
184	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
185	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	3	no	—
186	C₂²×C₄²	—	53	3	no	—
187	#391	—	53	12	no	—
188	#391	—	53	12	no	—
189	#390	—	53	12	no	—
190	#390	—	53	12	no	—
191	#386	—	53	12	no	—
192	#386	—	53	4	no	—
193	#380	—	53	24	no	—
194	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
195	C₅₃	#34257	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
196	2₋¹⁺⁴	—	106	128	no	—
197	C₂×#41	—	53	32	no	—
198	C₂×#41	—	53	48	no	—
199	C₂×#41	—	106	16	no	—
200	C₂×#41	—	106	16	no	—
201	C₂×#41	—	106	24	no	—
202	C₂×#41	—	106	24	no	—
203	C₂²×Q₈	—	53	32	no	—
204	C₂²×Q₈	—	53	6	no	—
205	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
206	C₂²×Q₈	—	106	16	no	—
207	C₂²×Q₈	C₄×D₅₃	1	8	yes	—
208	C₂²×Q₈	D₂₁₂	1	8	yes	—
209	C₂²×Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
210	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
211	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
212	C₂²×D₄	—	53	6	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
214	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
216	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
217	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
218	C₄×Q₈	—	106	32	no	—
219	#117	—	2	24	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	53	12	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
226	C₂×C₄²	—	53	12	no	—
227	C₂×C₄²	—	106	12	no	—
228	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
229	#95	—	53	8	no	—
230	#95	—	53	24	no	—
231	C₂⁴	—	53	4	no	—
232	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	106	128	no	—
234	#41	—	106	192	no	—
235	C₂×Q₈	—	53	24	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	128	no	—
237	C₂×Q₈	—	106	12	no	—
238	C₂×Q₈	—	106	12	no	—
239	C₂×Q₈	#11719921	1	64	yes	complemented
240	C₂×Q₈	C₂×C₄×D₅₃	1	16	yes	—
241	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	16	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	16	yes	—
243	C₂×D₄	—	53	16	no	—
244	C₂×D₄	—	53	24	no	—
245	C₂×D₄	—	106	8	no	—
246	C₂×D₄	—	106	8	no	—
247	C₂×D₄	—	106	12	no	—
248	C₂×D₄	—	106	12	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	48	no	—
252	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
256	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
257	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
258	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
259	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₅₃	1	12	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	12	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
264	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
265	C₄⋊C₄	—	106	24	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	212	24	no	—
269	C₄²	—	2	24	no	—
270	C₄²	—	106	24	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	53	8	no	—
274	C₂³	—	106	4	no	—
275	C₂³	—	106	4	no	—
276	C₂³	—	106	8	no	—
277	C₂³	—	106	8	no	—
278	C₂³	C₂²×C₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	Q₈	—	106	48	no	—
283	Q₈	C₂×#11719921	1	64	yes	—
284	D₄	—	106	32	no	—
285	D₄	—	106	48	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	8	no	—
288	C₂×C₄	—	2	8	no	—
289	C₂×C₄	—	53	8	no	—
290	C₂×C₄	—	53	4	no	—
291	C₂×C₄	—	106	8	no	—
292	C₂×C₄	—	106	4	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	106	4	no	—
295	C₂×C₄	—	106	2	no	—
296	C₂×C₄	—	106	96	no	—
297	C₂×C₄	—	106	6	no	—
298	C₂×C₄	—	106	12	no	—
299	C₂×C₄	—	212	12	no	—
300	C₂×C₄	C₂×#11719921	1	48	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₅₃	1	12	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	12	yes	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	106	8	no	—
309	C₂²	—	106	16	no	—
310	C₂²	—	212	4	no	—
311	C₂²	—	212	4	no	—
312	C₂²	—	212	8	no	—
313	C₂²	C₂²×#11719921	1	4	yes	—
314	C₂²	C₂³×C₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	2₋¹⁺⁴×D₅₃	1	2	yes	—
318	C₂²	#16811460	1	2	yes	—
319	C₄	—	4	8	no	—
320	C₄	—	106	4	no	—
321	C₄	—	106	8	no	—
322	C₄	—	212	6	no	—
323	C₄	C₂²×#11719921	1	24	yes	—
324	C₂	—	2	4	no	—
325	C₂	—	212	8	no	—
326	C₂	C₂³×#11719921	1	1	yes	characteristic
327	C₂	#20287924	1	2	yes	—
328	C₂	#20288367	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20288374	1	1	yes	characteristic
330	C₂	#20288482	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting	C₂×C₅₃×#519	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
prime radical	C₂²×#13133265	C₂
hypercenter	C₂×#519	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34257
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#519

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×Q₈×Dic₅₃	C₂	semidirect
3. #20277553	C₂	semidirect
4. Q₈×#11719921	C₂	semidirect
5. #20277303	C₂	semidirect
6. #20277203	C₂	semidirect
7. C₂×C₅₃×#519	C₂	semidirect
10. C₂×#13133265	C₄	semidirect
33. C₂×#11719949	C₂×C₄	semidirect
40. C₂×Q₈×D₅₃	C₂×C₄	semidirect
67. C₂×Q₈×C₅₃	C₂²⋊C₄	semidirect
134. C₂×Dic₅₃	2₋¹⁺⁴	semidirect
160. C₂×#519	D₅₃	semidirect
195. C₅₃	#34257	semidirect
239. C₂×Q₈	#11719921	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133265	2
C₂²×Q₈×Dic₅₃	2
#20277553	2
Q₈×#11719921	2
#20277303	2
#20277203	2
C₂×C₅₃×#519	2
#34257	53