Subgroups — #27550258

Order 13568.

2488 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277889	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	#20277790	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
3	#20277699	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#20277530	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#20277376	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#124×Dic₅₃	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×C₅₃×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	complemented
9	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
10	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	complemented
12	#16810530	C₂²	1	3	yes	complemented
13	#16810530	C₂²	1	6	yes	complemented
14	#16810526	C₂²	1	3	yes	—
15	#16810526	C₂²	1	6	yes	—
16	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
17	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
18	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
19	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
20	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
21	#16810516	C₂²	1	6	yes	complemented
22	#16810503	C₂²	1	6	yes	—
23	#16810503	C₂²	1	6	yes	—
24	#16810503	C₂²	1	6	yes	—
25	#16810498	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#16810498	C₂²	1	6	yes	complemented
27	#16810498	C₂²	1	6	yes	complemented
28	#16810491	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810489	C₂²	1	3	yes	complemented
30	#16810479	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	complemented
32	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	complemented
33	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	complemented
34	C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	complemented
35	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	C₅₃×H(3,𝔽₄)	C₄	1	16	yes	complemented
37	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
38	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	6	yes	—
39	C₂×#120×C₅₃	C₂²	1	6	yes	—
40	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
41	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
42	Q₈×Dic₅₃	—	4	6	no	—
43	D₄×Dic₅₃	—	4	12	no	—
44	D₄×Dic₅₃	—	4	6	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	4	12	no	—
50	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
60	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
61	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
62	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
63	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
64	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
65	#13133124	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
70	#124×C₅₃	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
71	#124×C₅₃	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
72	#120×C₅₃	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
73	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
74	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
75	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
76	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂⁴×C₅₃	—	4	6	no	—
79	C₂⁴×C₅₃	—	4	6	no	—
80	C₂⁴×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
81	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	3	no	—
83	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	3	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	4	3	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	4	6	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	4	3	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	4	6	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	12	yes	—
90	C₂×D₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
98	C₂²×Dic₅₃	—	4	6	no	—
99	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
101	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
102	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²×C₄	1	24	yes	—
106	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₄²×C₅₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
110	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	6	no	—
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	6	no	—
112	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	6	no	—
113	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	6	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	6	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	3	no	—
117	C₄⋊Dic₅₃	—	4	3	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	2	6	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	3	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	4	6	no	—
121	C₄×Dic₅₃	—	4	6	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	8	12	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂³×C₄	1	12	yes	—
132	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
133	Q₈×C₅₃	—	4	12	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
135	D₄×C₅₃	—	4	24	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	3	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂³×C₄	1	12	yes	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	3	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	8	12	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	8	12	no	—
153	C₂×Dic₅₃	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
154	#34529	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
161	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	8	16	no	—
163	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
165	C₂²×C₅₃	#585	1	3	yes	—
166	C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
167	C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
168	Dic₅₃	—	2	6	no	—
169	Dic₅₃	—	4	6	no	—
170	Dic₅₃	—	4	6	no	—
171	Dic₅₃	—	4	1	no	—
172	C₂×H(3,𝔽₄)	D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	#2379	—	53	3	no	—
174	#2367	—	53	6	no	—
175	#2358	—	53	6	no	—
176	#2337	—	53	6	no	—
177	#2321	—	53	6	no	—
178	C₄×#124	—	53	3	no	—
179	C₂×C₅₃	—	4	12	no	—
180	C₂×C₅₃	C₄×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
181	C₂×C₅₃	#3558	1	3	yes	—
182	C₂×C₅₃	#3568	1	1	yes	characteristic
183	H(3,𝔽₄)	Dic₅₃	1	16	yes	complemented
184	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
185	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
186	C₂×#120	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	3	no	—
188	C₂×C₄×D₄	—	53	6	no	—
189	C₂×C₄×D₄	—	53	3	no	—
190	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
191	#391	—	53	3	no	—
192	#391	—	53	6	no	—
193	#390	—	53	3	no	—
194	#390	—	53	6	no	—
195	#388	—	53	6	no	—
196	#388	—	53	6	no	—
197	#388	—	53	6	no	—
198	#388	—	53	6	no	—
199	#388	—	53	6	no	—
200	#388	—	53	6	no	—
201	#386	—	53	6	no	—
202	#386	—	53	6	no	—
203	#386	—	53	6	no	—
204	#385	—	53	6	no	—
205	#385	—	53	6	no	—
206	#385	—	53	6	no	—
207	#383	—	53	2	no	—
208	#382	—	53	3	no	—
209	#379	—	53	2	no	—
210	C₄×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
211	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
212	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
213	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
214	C₄³	—	53	1	no	—
215	C₅₃	#34529	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
218	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
219	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
220	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
221	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
222	#124	C₂×Dic₅₃	1	48	yes	complemented
223	#124	C₂×Dic₅₃	1	24	yes	complemented
224	#120	C₂×Dic₅₃	1	48	yes	complemented
225	C₄×Q₈	—	212	6	no	—
226	C₄×D₄	—	212	6	no	—
227	C₄×D₄	—	212	12	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	53	3	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	3	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	212	12	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
242	C₂×C₄²	—	53	3	no	—
243	C₂×C₄²	—	53	6	no	—
244	C₂×C₄²	—	53	6	no	—
245	C₂×C₄²	—	53	3	no	—
246	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	#95	—	53	6	no	—
249	#95	—	53	6	no	—
250	#95	—	53	6	no	—
251	#95	—	53	6	no	—
252	#95	—	53	6	no	—
253	#95	—	53	6	no	—
254	C₂⁴	—	4	6	no	—
255	C₂⁴	—	4	6	no	—
256	C₂⁴	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
257	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
258	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
259	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
260	C₂×Q₈	C₂²×Dic₅₃	1	12	yes	—
261	C₂×D₄	—	4	3	no	—
262	C₂×D₄	—	4	6	no	—
263	C₂×D₄	—	4	3	no	—
264	C₂×D₄	—	4	6	no	—
265	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	24	yes	—
266	C₂×D₄	C₂²×Dic₅₃	1	12	yes	—
267	C₂²×C₄	—	53	3	no	—
268	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
270	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
273	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
274	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	6	no	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
279	C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
280	C₄⋊C₄	—	212	3	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	3	no	—
282	C₄⋊C₄	—	212	6	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	212	6	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	212	6	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	212	6	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	212	6	no	—
289	C₂²⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	24	yes	—
290	C₂²⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	24	yes	—
291	C₂²⋊C₄	C₂²×Dic₅₃	1	24	yes	—
292	C₄²	—	106	6	no	—
293	C₄²	—	212	6	no	—
294	C₄²	—	212	6	no	—
295	C₄²	—	212	3	no	—
296	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	4	yes	—
297	C₄²	C₂²×Dic₅₃	1	8	yes	—
298	C₂³	—	2	6	no	—
299	C₂³	—	2	6	no	—
300	C₂³	—	2	6	no	—
301	C₂³	—	2	6	no	—
302	C₂³	—	2	6	no	—
303	C₂³	—	2	6	no	—
304	C₂³	—	4	24	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	12	no	—
307	C₂³	C₂³×Dic₅₃	1	12	yes	—
308	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	4	12	no	—
310	D₄	—	4	12	no	—
311	D₄	—	4	24	no	—
312	C₂×C₄	—	2	3	no	—
313	C₂×C₄	—	2	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	3	no	—
315	C₂×C₄	—	2	6	no	—
316	C₂×C₄	—	53	6	no	—
317	C₂×C₄	—	106	3	no	—
318	C₂×C₄	—	106	3	no	—
319	C₂×C₄	—	106	6	no	—
320	C₂×C₄	—	106	6	no	—
321	C₂×C₄	—	106	6	no	—
322	C₂×C₄	—	106	6	no	—
323	C₂×C₄	—	106	3	no	—
324	C₂×C₄	—	106	6	no	—
325	C₂×C₄	—	106	6	no	—
326	C₂×C₄	—	424	12	no	—
327	C₂×C₄	—	424	12	no	—
328	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	6	yes	—
329	C₂×C₄	C₂³×Dic₅₃	1	12	yes	—
330	C₂²	—	2	12	no	—
331	C₂²	—	2	12	no	—
332	C₂²	—	2	12	no	—
333	C₂²	—	4	6	no	—
334	C₂²	—	4	6	no	—
335	C₂²	—	4	6	no	—
336	C₂²	—	4	6	no	—
337	C₂²	—	8	16	no	—
338	C₂²	C₂⁴×Dic₅₃	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	H(5,𝔽₂)×D₅₃	1	3	yes	—
340	C₂²	#16811458	1	3	yes	—
341	C₄	—	2	6	no	—
342	C₄	—	2	12	no	—
343	C₄	—	106	6	no	—
344	C₄	—	212	1	no	—
345	C₄	—	212	6	no	—
346	C₄	—	212	6	no	—
347	C₂	—	4	12	no	—
348	C₂	H(5,𝔽₂)×Dic₅₃	1	3	yes	—
349	C₂	#20289228	1	3	yes	—
350	C₂	#20289409	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator	C₂²×C₅₃	C₂⁴×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₅₃×H(3,𝔽₄)	C₂
socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
hypercenter	C₂×H(3,𝔽₄)	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34529
LCS	G ▷ C₂²×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×H(3,𝔽₄)

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20277889	C₂	semidirect
2. #20277790	C₂	semidirect
3. #20277699	C₂	semidirect
4. #20277530	C₂	semidirect
5. #20277376	C₂	semidirect
6. #124×Dic₅₃	C₂	semidirect
8. C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	semidirect
11. C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
12. #16810530	C₂²	semidirect
13. #16810530	C₂²	semidirect
16. #16810516	C₂²	semidirect
17. #16810516	C₂²	semidirect
18. #16810516	C₂²	semidirect
19. #16810516	C₂²	semidirect
20. #16810516	C₂²	semidirect
21. #16810516	C₂²	semidirect
25. #16810498	C₂²	semidirect
26. #16810498	C₂²	semidirect
27. #16810498	C₂²	semidirect
28. #16810491	C₂²	semidirect
29. #16810489	C₂²	semidirect
30. #16810479	C₂²	semidirect
31. C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
32. C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	semidirect
33. C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	semidirect
34. C₂²⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	semidirect
35. C₄²×Dic₅₃	C₂²	semidirect
36. C₅₃×H(3,𝔽₄)	C₄	semidirect
70. #124×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
71. #124×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
72. #120×C₅₃	C₂×C₄	semidirect
183. H(3,𝔽₄)	Dic₅₃	semidirect
215. C₅₃	#34529	semidirect
222. #124	C₂×Dic₅₃	semidirect
223. #124	C₂×Dic₅₃	semidirect
224. #120	C₂×Dic₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277889	2
#20277790	2
#20277699	2
#20277530	2
#20277376	2
#124×Dic₅₃	2
C₂×C₅₃×H(3,𝔽₄)	2
#34529	53