Subgroups — C₂²×#16810540 #27550278

Order 13568.

8798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂⁴×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂³×#11719921	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂³×#11719921	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16810540	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#13133124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂⁵×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂³×D₂₁₂	—	2	16	no	—
9	C₂³×D₂₁₂	—	2	8	no	—
10	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#11719921	—	2	16	no	—
13	C₂²×#11719921	—	2	16	no	—
14	C₂²×#11719921	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂²×#11719921	C₂²	1	24	yes	complemented
16	#16810540	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×#13133124	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
22	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
24	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
26	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
27	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
28	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
29	C₂⁴×D₅₃	D₄	1	16	yes	—
30	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	—	2	128	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	96	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	48	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	16	yes	—
35	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
36	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
37	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
38	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
39	C₂×#11719921	—	2	96	no	—
40	C₂×#11719921	—	2	96	no	—
41	C₂×#11719921	C₂³	1	32	yes	complemented
42	C₂×#11719921	C₂³	1	32	yes	complemented
43	#13133124	C₂³	1	16	yes	complemented
44	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
54	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
57	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
59	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
60	C₂⁴×C₅₃	#41	1	4	yes	—
61	C₂⁴×C₅₃	#41	1	8	yes	—
62	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	64	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	64	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	64	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
67	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
68	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
69	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
72	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
73	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
74	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
75	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
76	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	48	yes	—
77	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	4	32	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	384	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	32	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
100	#11719921	—	2	64	no	—
101	#11719921	—	2	64	no	—
102	C₂³×C₅₃	#120	1	16	yes	—
103	C₂³×C₅₃	#121	1	16	yes	—
104	C₂³×C₅₃	#121	1	32	yes	—
105	C₂³×C₅₃	#123	1	32	yes	—
106	C₂³×C₅₃	#124	1	16	yes	—
107	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
108	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
109	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
110	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	12	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₅₃	—	2	96	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	96	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	96	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	256	no	—
127	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	24	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
138	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	48	no	—
142	D₂₁₂	—	2	128	no	—
143	C₂²×#394	—	53	1	no	maximal, Sylow
144	C₂²×C₅₃	#394	1	64	yes	complemented
145	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	12	yes	—
146	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	12	yes	—
147	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	24	yes	—
148	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	24	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	12	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
155	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
156	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
157	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
158	C₂×D₅₃	—	4	192	no	—
159	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
160	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
161	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
162	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
166	Dic₅₃	—	4	8	no	—
167	C₂⁴×D₄	—	53	1	no	—
168	C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
169	C₂³×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
170	C₂³×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
171	C₂×#394	—	53	24	no	—
172	C₂²×#95	—	53	1	no	—
173	C₂×C₅₃	C₂×#394	1	24	yes	complemented
174	C₂×C₅₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	C₂²×#123	1	2	yes	—
178	C₂×C₅₃	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
179	D₅₃	—	4	16	no	—
180	C₂⁶	—	53	2	no	—
181	C₂³×D₄	—	53	12	no	—
182	C₂³×D₄	—	106	16	no	—
183	C₂³×D₄	—	106	8	no	—
184	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
185	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
190	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
191	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
192	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
193	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
194	#394	—	53	64	no	—
195	C₂×#95	—	53	12	no	—
196	C₅₃	C₂²×#394	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂⁵	—	53	16	no	—
198	C₂⁵	—	53	12	no	—
199	C₂⁵	—	106	8	no	—
200	C₂⁵	—	106	8	no	—
201	C₂⁵	—	106	8	no	—
202	C₂⁵	—	106	8	no	—
203	C₂⁵	—	106	8	no	—
204	C₂⁵	—	106	8	no	—
205	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
207	C₂²×D₄	—	106	96	no	—
208	C₂²×D₄	—	106	128	no	—
209	C₂²×D₄	—	106	48	no	—
210	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
214	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
216	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
217	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
219	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
220	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
221	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
222	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
223	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
228	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	96	no	—
229	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	96	no	—
230	#95	—	53	16	no	—
231	C₂⁴	—	53	48	no	—
232	C₂⁴	—	53	8	no	—
233	C₂⁴	—	106	64	no	—
234	C₂⁴	—	106	64	no	—
235	C₂⁴	—	106	64	no	—
236	C₂⁴	—	106	24	no	—
237	C₂⁴	—	106	24	no	—
238	C₂⁴	—	106	24	no	—
239	C₂⁴	—	106	24	no	—
240	C₂⁴	—	106	24	no	—
241	C₂⁴	—	106	24	no	—
242	C₂⁴	—	212	32	no	—
243	C₂⁴	—	212	32	no	—
244	C₂⁴	—	212	32	no	—
245	C₂⁴	—	212	32	no	—
246	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
247	C₂⁴	#11719945	1	4	yes	—
248	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
249	C₂⁴	#11719949	1	8	yes	—
250	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
251	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
252	C₂×D₄	—	106	64	no	—
253	C₂×D₄	—	106	384	no	—
254	C₂×D₄	—	106	32	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
263	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
265	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
266	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
267	C₂²×C₄	—	212	32	no	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	24	yes	complemented
269	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	24	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	106	64	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	106	64	no	—
276	C₂³	—	53	16	no	—
277	C₂³	—	106	96	no	—
278	C₂³	—	106	96	no	—
279	C₂³	—	106	96	no	—
280	C₂³	—	106	8	no	—
281	C₂³	—	106	8	no	—
282	C₂³	—	106	8	no	—
283	C₂³	—	106	8	no	—
284	C₂³	—	106	8	no	—
285	C₂³	—	106	8	no	—
286	C₂³	—	212	256	no	—
287	C₂³	—	212	48	no	—
288	C₂³	—	212	48	no	—
289	C₂³	—	212	48	no	—
290	C₂³	—	212	48	no	—
291	C₂³	#13133185	1	16	yes	—
292	C₂³	#13133191	1	16	yes	—
293	C₂³	#13133192	1	32	yes	—
294	C₂³	#13133202	1	32	yes	—
295	C₂³	#13133206	1	16	yes	—
296	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
297	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	6	yes	—
299	C₂³	C₂×#11719945	1	6	yes	—
300	C₂³	C₂×#11719949	1	12	yes	—
301	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	D₄	—	106	128	no	—
303	C₂×C₄	—	2	48	no	—
304	C₂×C₄	—	2	48	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	8	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	24	no	—
311	C₂×C₄	—	106	8	no	—
312	C₂×C₄	—	106	8	no	—
313	C₂×C₄	—	106	8	no	—
314	C₂×C₄	—	212	48	no	—
315	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	8	yes	complemented
317	C₂²	—	106	16	no	—
318	C₂²	—	106	16	no	—
319	C₂²	—	106	16	no	—
320	C₂²	—	212	192	no	—
321	C₂²	—	212	8	no	—
322	C₂²	—	212	8	no	—
323	C₂²	—	212	8	no	—
324	C₂²	—	212	8	no	—
325	C₂²	#16810540	1	64	yes	direct product factor
326	C₂²	C₂×#13133185	1	12	yes	—
327	C₂²	C₂×#13133191	1	12	yes	—
328	C₂²	C₂×#13133192	1	24	yes	—
329	C₂²	C₂×#13133202	1	24	yes	—
330	C₂²	C₂×#13133206	1	12	yes	—
331	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂²×#11719945	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂²×#11719949	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	2	8	no	—
338	C₄	—	4	4	no	—
339	C₄	—	212	8	no	—
340	C₂	—	212	16	no	—
341	C₂	C₂×#16810540	1	24	yes	direct product factor
342	C₂	C₂²×#13133185	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂²×#13133191	1	1	yes	characteristic
344	C₂	C₂²×#13133192	1	2	yes	—
345	C₂	C₂²×#13133202	1	2	yes	—
346	C₂	C₂²×#13133206	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁵	C₂²×D₅₃
commutator, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂
socle	C₂⁵×C₅₃	C₂³
prime radical	C₂⁴×D₂₁₂	C₂
hypercenter	C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#394
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ C₂³×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂³×#11719921	C₂	semidirect
3. C₂³×#11719921	C₂	semidirect
4. C₂×#16810540	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#13133124	C₂	semidirect
6. C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	semidirect
14. C₂²×#11719921	C₂²	semidirect
15. C₂²×#11719921	C₂²	semidirect
16. #16810540	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×#13133124	C₂²	semidirect
22. C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	semidirect
41. C₂×#11719921	C₂³	semidirect
42. C₂×#11719921	C₂³	semidirect
43. #13133124	C₂³	semidirect
51. C₂³×C₄×C₅₃	D₄	semidirect
56. C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	semidirect
87. C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
137. C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	semidirect
144. C₂²×C₅₃	#394	semidirect
168. C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃	semidirect
173. C₂×C₅₃	C₂×#394	semidirect
189. C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	semidirect
196. C₅₃	C₂²×#394	semidirect
219. C₂³×C₄	D₂₁₂	semidirect
225. C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	semidirect
268. C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	semidirect
316. C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	semidirect
325. C₂²	#16810540	direct (N × H)
341. C₂	C₂×#16810540	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂⁴×D₂₁₂	2
C₂³×#11719921	2
C₂×#16810540	2
C₂²×#13133124	2
C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	2
C₂²×#394	53

Subgroups — C22×#16810540 #27550278

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810540 #27550278