Subgroups — C₂²×#16810558 #27550321

Order 13568.

5838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×#11719919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂³×#11719921	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂³×#11719921	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16810558	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#13133124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂⁵×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#11719919	—	2	16	no	—
11	C₂²×#11719919	C₂²	1	24	yes	complemented
12	C₂²×#11719921	—	2	16	no	—
13	C₂²×#11719921	—	2	8	no	—
14	C₂²×#11719921	C₂²	1	24	yes	—
15	C₂²×#11719921	C₂²	1	12	yes	—
16	#16810558	C₂²	1	64	yes	direct product factor
17	C₂×#13133124	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
23	C₂⁴×D₅₃	—	2	4	no	—
24	C₂⁴×D₅₃	—	2	8	no	—
25	C₂⁴×D₅₃	—	2	4	no	—
26	C₂⁴×D₅₃	Q₈	1	8	yes	—
27	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	6	yes	—
28	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
29	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
30	C₂³×Dic₅₃	—	2	4	no	—
31	C₂³×Dic₅₃	—	2	8	no	—
32	C₂³×Dic₅₃	D₄	1	16	yes	—
33	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
35	C₂×#11719919	—	2	96	no	—
36	C₂×#11719919	C₂³	1	32	yes	complemented
37	C₂×#11719921	—	2	48	no	—
38	C₂×#11719921	—	2	96	no	—
39	C₂×#11719921	C₂³	1	16	yes	—
40	C₂×#11719921	C₂³	1	32	yes	—
41	#13133124	C₂³	1	16	yes	complemented
42	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	8	yes	—
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	16	yes	complemented
52	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
53	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
54	C₂⁴×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	#41	1	8	yes	—
56	C₂⁴×C₅₃	#41	1	4	yes	—
57	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	3	yes	—
58	C₂³×D₅₃	—	2	32	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	2	64	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	2	24	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	4	16	no	—
65	C₂³×D₅₃	—	4	32	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	4	16	no	—
67	C₂³×D₅₃	C₂×Q₈	1	24	yes	—
68	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	32	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
78	C₂²×Dic₅₃	—	2	64	no	—
79	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	12	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	4	16	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	48	yes	—
85	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
88	#11719921	—	2	32	no	—
89	#11719921	—	2	64	no	—
90	#11719919	—	2	64	no	—
91	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
92	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
93	C₂³×C₅₃	#123	1	16	yes	—
94	C₂³×C₅₃	#123	1	32	yes	—
95	C₂³×C₅₃	#127	1	16	yes	—
96	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
99	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	12	yes	—
100	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	6	yes	—
101	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₅₃	—	2	48	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	2	96	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	48	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	128	no	—
112	C₂²×D₅₃	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	48	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
120	C₂×Dic₅₃	—	2	96	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	24	no	—
126	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
127	C₂²×#399	—	53	1	no	maximal, Sylow
128	C₂²×C₅₃	#399	1	64	yes	complemented
129	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
130	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	24	yes	—
131	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	12	yes	—
132	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	24	yes	—
133	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	12	yes	—
134	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×D₅₃	—	2	8	no	—
140	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
141	C₂×D₅₃	—	4	96	no	—
142	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
146	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
147	Dic₅₃	—	2	16	no	—
148	Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂³×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
150	C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
151	C₂³×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
152	C₂³×C₂²⋊C₄	—	53	1	no	—
153	C₂×#399	—	53	24	no	—
154	C₂²×#95	—	53	1	no	—
155	C₂×C₅₃	C₂×#399	1	24	yes	complemented
156	C₂×C₅₃	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
158	C₂×C₅₃	C₂²×#123	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	C₂²×#123	1	2	yes	—
160	C₂×C₅₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
161	D₅₃	—	4	8	no	—
162	C₂⁶	—	53	1	no	—
163	C₂⁴×C₄	—	53	2	no	—
164	C₂⁴×C₄	—	53	1	no	—
165	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
166	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	24	no	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
170	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	12	yes	complemented
171	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
172	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
173	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
174	C₂²×C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
175	#399	—	53	64	no	—
176	C₂×#95	—	53	12	no	—
177	C₅₃	C₂²×#399	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
178	C₂⁵	—	53	8	no	—
179	C₂⁵	—	53	6	no	—
180	C₂⁵	—	106	8	no	—
181	C₂⁵	—	106	8	no	—
182	C₂⁵	—	106	4	no	—
183	C₂⁵	—	106	4	no	—
184	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂³×C₄	—	53	16	no	—
190	C₂³×C₄	—	53	12	no	—
191	C₂³×C₄	—	53	6	no	—
192	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
193	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
194	C₂³×C₄	—	106	8	no	—
195	C₂³×C₄	—	106	4	no	—
196	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
197	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	53	32	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	96	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	16	yes	complemented
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	96	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	48	no	—
207	#95	—	53	16	no	—
208	C₂⁴	—	53	24	no	—
209	C₂⁴	—	53	4	no	—
210	C₂⁴	—	106	32	no	—
211	C₂⁴	—	106	64	no	—
212	C₂⁴	—	106	24	no	—
213	C₂⁴	—	106	12	no	—
214	C₂⁴	—	106	24	no	—
215	C₂⁴	—	106	12	no	—
216	C₂⁴	—	212	16	no	—
217	C₂⁴	—	212	32	no	—
218	C₂⁴	—	212	16	no	—
219	C₂⁴	#11719945	1	8	yes	—
220	C₂⁴	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
221	C₂⁴	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
222	C₂⁴	#11719949	1	4	yes	—
223	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
224	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	3	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
231	C₂²×C₄	—	53	48	no	—
232	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	106	64	no	—
235	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
236	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
237	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
238	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
239	C₂²×C₄	—	212	16	no	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	24	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
243	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	64	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	106	64	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
247	C₂³	—	53	8	no	—
248	C₂³	—	106	48	no	—
249	C₂³	—	106	96	no	—
250	C₂³	—	106	8	no	—
251	C₂³	—	106	4	no	—
252	C₂³	—	106	8	no	—
253	C₂³	—	106	4	no	—
254	C₂³	—	212	128	no	—
255	C₂³	—	212	24	no	—
256	C₂³	—	212	48	no	—
257	C₂³	—	212	24	no	—
258	C₂³	#13133193	1	16	yes	—
259	C₂³	#13133195	1	32	yes	—
260	C₂³	#13133200	1	16	yes	—
261	C₂³	#13133202	1	32	yes	—
262	C₂³	#13133213	1	16	yes	—
263	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
264	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
265	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	6	yes	—
266	C₂³	C₂×#11719945	1	12	yes	—
267	C₂³	C₂×#11719949	1	6	yes	—
268	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	—	2	48	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	4	48	no	—
275	C₂×C₄	—	53	16	no	—
276	C₂×C₄	—	106	96	no	—
277	C₂×C₄	—	106	8	no	—
278	C₂×C₄	—	106	8	no	—
279	C₂×C₄	—	106	8	no	—
280	C₂×C₄	—	106	4	no	—
281	C₂×C₄	—	212	24	no	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
283	C₂²	—	106	8	no	—
284	C₂²	—	106	16	no	—
285	C₂²	—	212	96	no	—
286	C₂²	—	212	4	no	—
287	C₂²	—	212	8	no	—
288	C₂²	—	212	4	no	—
289	C₂²	#16810558	1	64	yes	direct product factor
290	C₂²	C₂×#13133193	1	12	yes	—
291	C₂²	C₂×#13133195	1	24	yes	—
292	C₂²	C₂×#13133200	1	12	yes	—
293	C₂²	C₂×#13133202	1	24	yes	—
294	C₂²	C₂×#13133213	1	12	yes	—
295	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂²×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂²×#11719945	1	2	yes	—
299	C₂²	C₂²×#11719949	1	1	yes	characteristic
300	C₄	—	2	8	no	—
301	C₄	—	4	8	no	—
302	C₄	—	106	16	no	—
303	C₄	—	212	4	no	—
304	C₂	—	212	8	no	—
305	C₂	C₂×#16810558	1	24	yes	direct product factor
306	C₂	C₂²×#13133193	1	1	yes	characteristic
307	C₂	C₂²×#13133195	1	2	yes	—
308	C₂	C₂²×#13133200	1	1	yes	characteristic
309	C₂	C₂²×#13133202	1	2	yes	—
310	C₂	C₂²×#13133213	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁵	C₂²×D₅₃
commutator, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂
socle	C₂⁵×C₅₃	C₂³
prime radical	C₂⁵×D₅₃	C₂²
hypercenter	C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂²×#399
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁵ ◁ C₂³×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×#11719919	C₂	semidirect
4. C₂×#16810558	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#13133124	C₂	semidirect
6. C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂	semidirect
11. C₂²×#11719919	C₂²	semidirect
16. #16810558	C₂²	direct (N × H)
17. C₂×#13133124	C₂²	semidirect
21. C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	semidirect
36. C₂×#11719919	C₂³	semidirect
41. #13133124	C₂³	semidirect
51. C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	semidirect
128. C₂²×C₅₃	#399	semidirect
150. C₂³×C₄⋊C₄	D₅₃	semidirect
155. C₂×C₅₃	C₂×#399	semidirect
170. C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	semidirect
177. C₅₃	C₂²×#399	semidirect
202. C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	semidirect
289. C₂²	#16810558	direct (N × H)
305. C₂	C₂×#16810558	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×#11719919	2
C₂³×#11719921	2
C₂×#16810558	2
C₂²×#13133124	2
C₂³×C₄⋊C₄×C₅₃	2
C₂²×#399	53

Subgroups — C22×#16810558 #27550321

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#16810558 #27550321