Subgroups — C₂×#20280820 #27551260

Order 13568.

5142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133213	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#13133203	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#20280820	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#16810533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#16810532	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16810531	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#16810468	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#392	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂³×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂³×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂×#13133213	—	2	24	no	—
14	C₂×#13133213	C₂²	1	24	yes	complemented
15	C₂×#13133203	—	2	24	no	—
16	C₂×#13133203	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
18	C₂²×#11719921	C₂²	1	3	yes	—
19	C₂²×#11719921	C₂²	1	3	yes	—
20	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
21	#16810533	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#16810532	C₂²	1	24	yes	complemented
23	#16810531	C₂²	1	24	yes	complemented
24	#16810468	C₂²	1	8	yes	complemented
25	C₂×#13133124	C₂²	1	3	yes	—
26	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂²×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
28	C₅₃×#392	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	3	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	12	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	12	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	—	4	12	no	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	12	no	—
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
38	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
39	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	4	12	no	—
40	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	4	12	no	—
41	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
42	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	24	yes	—
43	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
45	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#13133213	—	2	96	no	—
47	#13133203	—	2	96	no	—
48	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
50	C₂×#11719921	—	2	12	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	12	no	—
52	C₂×#11719921	C₂³	1	12	yes	—
53	C₂×#11719921	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	24	yes	complemented
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
56	#13133124	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
59	C₂²×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
65	#95×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	2	12	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
69	C₂⁴×C₅₃	—	2	12	no	—
70	C₂⁴×C₅₃	—	2	6	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
72	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×D₅₃	—	2	6	no	—
74	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
75	C₂³×D₅₃	—	2	6	no	—
76	C₂³×D₅₃	—	2	12	no	—
77	C₂³×D₅₃	—	2	6	no	—
78	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	4	24	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	4	48	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	48	no	—
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	48	no	—
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	24	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	24	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	96	no	—
93	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	48	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	2	6	no	—
97	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
98	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
99	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
100	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
101	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	24	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	4	24	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	4	48	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	24	no	—
109	#11719921	—	2	24	no	—
110	#11719921	—	2	24	no	—
111	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	48	yes	complemented
112	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
116	C₂³×C₅₃	—	2	6	no	—
117	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
118	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	12	no	—
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
123	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
124	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	24	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	12	no	—
136	D₄×C₅₃	—	4	48	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	6	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
142	C₂²⋊D₅₃	—	4	96	no	—
143	C₂²⋊D₅₃	—	4	48	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×Dic₅₃	#127	1	16	yes	—
150	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
151	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
152	D₂₁₂	—	4	48	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
154	C₂×#2657	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	4	6	no	—
160	C₂²×C₅₃	—	8	24	no	—
161	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	4	yes	—
162	C₂²×C₅₃	#535	1	12	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#535	1	12	yes	—
164	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	3	yes	—
165	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₅₃	—	4	6	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
169	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	6	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	6	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	24	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₅₃	—	2	12	no	—
176	Dic₅₃	—	4	2	no	—
177	Dic₅₃	C₂×#127	1	8	yes	—
178	C₂²×#127	—	53	3	no	—
179	C₂²×#124	—	53	3	no	—
180	#2657	—	53	16	no	—
181	C₂×#392	—	53	1	no	—
182	C₂×#392	—	53	3	no	—
183	C₂×#392	—	53	3	no	—
184	C₂×#392	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	C₂×#376	—	53	1	no	—
186	C₂×C₅₃	—	8	6	no	—
187	C₂×C₅₃	#2657	1	8	yes	complemented
188	C₂×C₅₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₅₃	C₂×#535	1	3	yes	—
190	C₂×C₅₃	C₂×#535	1	3	yes	—
191	D₅₃	—	8	6	no	—
192	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
193	C₂³×D₄	—	53	3	no	—
194	C₂³×D₄	—	53	6	no	—
195	C₂³×D₄	—	53	3	no	—
196	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
197	C₂×#127	—	53	24	no	—
198	C₂×#127	—	106	24	no	—
199	C₂×#124	—	53	24	no	—
200	C₂×#124	—	106	24	no	—
201	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
202	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
203	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	3	no	—
204	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
205	C₂²×C₄²	—	53	3	no	—
206	#392	—	53	24	no	—
207	#392	—	53	24	no	—
208	#392	—	53	8	no	—
209	#392	C₂×D₅₃	1	8	yes	complemented
210	#376	—	53	8	no	—
211	C₂×#95	—	53	3	no	—
212	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₅₃	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
214	C₂⁵	—	53	3	no	—
215	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
216	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
217	C₂²×Q₈	—	106	12	no	—
218	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
220	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
221	C₂²×D₄	—	53	24	no	—
222	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
223	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
224	C₂²×D₄	—	106	24	no	—
225	C₂²×D₄	—	106	24	no	—
226	C₂²×D₄	—	106	12	no	—
227	C₂²×D₄	—	212	12	no	—
228	C₂²×D₄	—	212	12	no	—
229	C₂²×D₄	—	212	12	no	—
230	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
231	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
232	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
233	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
234	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
236	#127	—	106	96	no	—
237	#124	—	106	96	no	—
238	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
245	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
246	C₂×C₄²	—	53	24	no	—
247	C₂×C₄²	—	53	12	no	—
248	#95	—	53	12	no	—
249	#95	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
250	C₂⁴	—	2	6	no	—
251	C₂⁴	—	2	12	no	—
252	C₂⁴	—	2	6	no	—
253	C₂⁴	—	2	12	no	—
254	C₂⁴	—	2	6	no	—
255	C₂⁴	—	53	6	no	—
256	C₂⁴	—	106	6	no	—
257	C₂⁴	—	106	12	no	—
258	C₂⁴	—	106	6	no	—
259	C₂⁴	—	106	12	no	—
260	C₂⁴	—	106	6	no	—
261	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
262	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
264	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
265	C₂×D₄	—	2	24	no	—
266	C₂×D₄	—	4	24	no	—
267	C₂×D₄	—	4	48	no	—
268	C₂×D₄	—	106	24	no	—
269	C₂×D₄	—	106	48	no	—
270	C₂×D₄	—	106	48	no	—
271	C₂×D₄	—	106	24	no	—
272	C₂×D₄	—	212	24	no	—
273	C₂×D₄	—	212	48	no	—
274	C₂×D₄	—	212	48	no	—
275	C₂×D₄	—	212	24	no	—
276	C₂×D₄	—	212	24	no	—
277	C₂×D₄	—	212	96	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
280	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
281	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
283	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	6	no	—
288	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	12	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
295	C₄²	—	53	48	no	—
296	C₂³	—	2	6	no	—
297	C₂³	—	2	12	no	—
298	C₂³	—	2	6	no	—
299	C₂³	—	2	12	no	—
300	C₂³	—	2	6	no	—
301	C₂³	—	4	12	no	—
302	C₂³	—	4	24	no	—
303	C₂³	—	4	12	no	—
304	C₂³	—	4	24	no	—
305	C₂³	—	4	12	no	—
306	C₂³	—	106	6	no	—
307	C₂³	—	106	12	no	—
308	C₂³	—	106	6	no	—
309	C₂³	—	106	12	no	—
310	C₂³	—	106	6	no	—
311	C₂³	—	212	12	no	—
312	C₂³	—	212	24	no	—
313	C₂³	—	212	12	no	—
314	C₂³	—	212	24	no	—
315	C₂³	—	212	12	no	—
316	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	6	yes	—
317	C₂³	#13133262	1	6	yes	—
318	C₂³	#13133263	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	212	16	no	—
321	D₄	—	4	48	no	—
322	D₄	—	212	48	no	—
323	D₄	—	212	48	no	—
324	D₄	—	212	96	no	—
325	C₂×C₄	—	2	24	no	—
326	C₂×C₄	—	2	12	no	—
327	C₂×C₄	—	2	6	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	53	16	no	—
330	C₂×C₄	—	53	12	no	—
331	C₂×C₄	—	53	12	no	—
332	C₂×C₄	—	106	24	no	—
333	C₂×C₄	—	106	6	no	—
334	C₂×C₄	—	106	6	no	—
335	C₂×C₄	—	106	6	no	—
336	C₂×C₄	—	212	4	no	—
337	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
338	C₂²	—	4	12	no	—
339	C₂²	—	4	6	no	—
340	C₂²	—	4	12	no	—
341	C₂²	—	4	6	no	—
342	C₂²	—	4	6	no	—
343	C₂²	—	8	24	no	—
344	C₂²	—	424	24	no	—
345	C₂²	—	212	12	no	—
346	C₂²	—	212	6	no	—
347	C₂²	—	212	12	no	—
348	C₂²	—	212	6	no	—
349	C₂²	—	212	6	no	—
350	C₂²	#127×D₅₃	1	4	yes	—
351	C₂²	#16811188	1	12	yes	—
352	C₂²	#16811189	1	12	yes	—
353	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
354	C₂²	C₂×#13133262	1	3	yes	—
355	C₂²	C₂×#13133263	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	12	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	53	8	no	—
359	C₄	—	106	12	no	—
360	C₄	—	212	2	no	—
361	C₂	—	8	6	no	—
362	C₂	—	424	6	no	—
363	C₂	#20280820	1	8	yes	direct product factor
364	C₂	C₂×#127×D₅₃	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂×#16811188	1	3	yes	—
366	C₂	C₂×#16811189	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#392	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#392	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2657
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#392

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133213	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133203	C₂	semidirect
3. #20280820	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#16810533	C₂	semidirect
5. C₂×#16810532	C₂	semidirect
6. C₂×#16810531	C₂	semidirect
7. C₂×#16810468	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#392	C₂	semidirect
14. C₂×#13133213	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133203	C₂²	semidirect
21. #16810533	C₂²	semidirect
22. #16810532	C₂²	semidirect
23. #16810531	C₂²	semidirect
24. #16810468	C₂²	semidirect
28. C₅₃×#392	C₂²	semidirect
54. C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	semidirect
111. C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	semidirect
184. C₂×#392	D₅₃	semidirect
187. C₂×C₅₃	#2657	semidirect
209. #392	C₂×D₅₃	semidirect
213. C₅₃	C₂×#2657	semidirect
363. C₂	#20280820	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133213	2
C₂²×#13133203	2
#20280820	2
C₂×#16810533	2
C₂×#16810532	2
C₂×#16810531	2
C₂×#16810468	2
C₂×C₅₃×#392	2
C₂×#2657	53

Subgroups — C2×#20280820 #27551260

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20280820 #27551260