Subgroups — C₂×#20280822 #27551261

Order 13568.

5142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 332 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133213	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#13133205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#13133204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20280822	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
5	C₂×#16810531	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	C₂×#16810469	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#127×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂×#13133213	—	2	16	no	—
12	C₂×#13133213	C₂²	1	16	yes	complemented
13	C₂×#13133205	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133205	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133204	—	2	16	no	—
16	C₂×#13133204	C₂²	1	16	yes	complemented
17	C₂²×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂²×#11719921	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810531	C₂²	1	64	yes	complemented
21	#16810469	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#127×C₅₃	—	2	8	no	—
26	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	8	yes	complemented
27	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	32	no	—
36	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	4	32	no	—
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	32	yes	—
38	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
40	#13133213	—	2	64	no	—
41	#13133205	—	2	32	no	—
42	#13133204	—	2	64	no	—
43	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	32	no	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	32	yes	—
45	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
46	C₂×#11719921	C₂³	1	16	yes	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	16	yes	complemented
48	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
49	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
56	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
58	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#127×C₅₃	—	2	32	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
65	C₂⁴×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	32	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
71	C₂³×D₅₃	—	2	16	no	—
72	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	2	32	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	16	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	—	4	32	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	4	64	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	4	32	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	64	no	—
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	64	no	—
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	128	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	16	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
102	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	64	no	—
103	#11719921	—	2	32	no	—
104	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
105	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	32	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	4	16	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	4	32	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	4	32	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	32	no	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	2	16	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	32	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
123	D₄×C₅₃	—	4	64	no	—
124	D₄×C₅₃	—	4	32	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	16	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²⋊D₅₃	—	4	128	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	32	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	16	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
138	D₂₁₂	—	4	16	no	—
139	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
140	C₂×#2657	—	53	1	no	maximal, Sylow
141	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
143	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	4	16	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	8	32	no	—
146	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	4	yes	—
147	C₂²×C₅₃	#535	1	16	yes	—
148	C₂²×C₅₃	#535	1	8	yes	—
149	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
152	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
153	C₂×D₅₃	—	4	16	no	—
154	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
155	C₂×D₅₃	—	8	16	no	—
156	C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
157	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	8	yes	—
158	Dic₅₃	—	2	16	no	—
159	Dic₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂²×#127	—	53	2	no	—
161	C₂²×#127	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
162	C₂²×#124	—	53	1	no	—
163	C₂²×#124	—	53	2	no	—
164	#2657	—	53	16	no	—
165	C₂×#392	—	53	8	no	—
166	C₂×#376	—	53	1	no	—
167	C₂×C₅₃	—	8	8	no	—
168	C₂×C₅₃	#2657	1	8	yes	complemented
169	C₂×C₅₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₅₃	C₂×#535	1	4	yes	—
171	C₂×C₅₃	C₂×#535	1	2	yes	—
172	D₅₃	—	8	4	no	—
173	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
174	C₂³×D₄	—	53	8	no	—
175	C₂³×D₄	—	53	1	no	—
176	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
177	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
178	C₂×#127	—	2	8	no	—
179	C₂×#127	—	53	16	no	—
180	C₂×#127	—	106	16	no	—
181	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	8	yes	complemented
182	C₂×#124	—	53	16	no	—
183	C₂×#124	—	53	8	no	—
184	C₂×#124	—	106	16	no	—
185	C₂×#124	—	106	8	no	—
186	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
187	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
188	C₂²×C₄²	—	53	2	no	—
189	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	#392	—	53	64	no	—
191	#376	—	53	8	no	—
192	C₂×#95	—	53	4	no	—
193	C₅₃	C₂×#2657	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
194	C₂⁵	—	53	2	no	—
195	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
196	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
197	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
198	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
199	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
201	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×D₄	—	53	32	no	—
205	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
206	C₂²×D₄	—	106	32	no	—
207	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
208	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
209	C₂²×D₄	—	212	32	no	—
210	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
211	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
212	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
213	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
214	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#127	—	2	32	no	—
217	#127	—	106	64	no	—
218	#124	—	106	64	no	—
219	#124	—	106	32	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
224	C₂×C₄²	—	53	16	no	—
225	C₂×C₄²	—	53	8	no	—
226	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	complemented
227	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
228	#95	—	53	16	no	—
229	C₂⁴	—	2	8	no	—
230	C₂⁴	—	2	8	no	—
231	C₂⁴	—	2	8	no	—
232	C₂⁴	—	2	32	no	—
233	C₂⁴	—	53	4	no	—
234	C₂⁴	—	106	8	no	—
235	C₂⁴	—	106	4	no	—
236	C₂⁴	—	106	16	no	—
237	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
238	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	—	106	16	no	—
240	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	212	16	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	2	16	no	—
244	C₂×D₄	—	2	32	no	—
245	C₂×D₄	—	2	16	no	—
246	C₂×D₄	—	4	32	no	—
247	C₂×D₄	—	4	64	no	—
248	C₂×D₄	—	4	32	no	—
249	C₂×D₄	—	106	64	no	—
250	C₂×D₄	—	106	16	no	—
251	C₂×D₄	—	106	8	no	—
252	C₂×D₄	—	212	64	no	—
253	C₂×D₄	—	212	128	no	—
254	C₂×D₄	—	212	16	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	53	16	no	—
257	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
262	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
267	C₂²⋊C₄	—	106	64	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
269	C₄²	—	53	32	no	—
270	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	16	yes	complemented
271	C₂³	—	2	8	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	8	no	—
274	C₂³	—	2	32	no	—
275	C₂³	—	4	16	no	—
276	C₂³	—	4	32	no	—
277	C₂³	—	4	32	no	—
278	C₂³	—	4	32	no	—
279	C₂³	—	106	8	no	—
280	C₂³	—	106	4	no	—
281	C₂³	—	106	16	no	—
282	C₂³	—	212	8	no	—
283	C₂³	—	212	32	no	—
284	C₂³	—	212	16	no	—
285	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
286	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂³	#13133262	1	8	yes	—
288	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	Q₈	—	212	16	no	—
290	D₄	—	4	64	no	—
291	D₄	—	4	32	no	—
292	D₄	—	212	128	no	—
293	D₄	—	212	16	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	53	16	no	—
297	C₂×C₄	—	106	32	no	—
298	C₂×C₄	—	106	16	no	—
299	C₂×C₄	—	106	8	no	—
300	C₂×C₄	—	106	4	no	—
301	C₂×C₄	—	212	8	no	—
302	C₂×C₄	#13133213	1	16	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
306	C₂²	—	4	16	no	—
307	C₂²	—	4	16	no	—
308	C₂²	—	4	16	no	—
309	C₂²	—	4	8	no	—
310	C₂²	—	8	32	no	—
311	C₂²	—	424	16	no	—
312	C₂²	—	212	16	no	—
313	C₂²	—	212	8	no	—
314	C₂²	—	212	4	no	—
315	C₂²	C₂×#13133213	1	4	yes	—
316	C₂²	#16811186	1	16	yes	—
317	C₂²	#16811190	1	8	yes	—
318	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
319	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂×#13133262	1	4	yes	—
321	C₄	—	2	8	no	—
322	C₄	—	106	16	no	—
323	C₄	—	212	4	no	—
324	C₄	C₂×#13133213	1	8	yes	—
325	C₂	—	8	8	no	—
326	C₂	—	424	4	no	—
327	C₂	#20280822	1	8	yes	direct product factor
328	C₂	C₂²×#13133213	1	1	yes	characteristic
329	C₂	C₂×#16811186	1	4	yes	—
330	C₂	C₂×#16811190	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂²×#127×C₅₃	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#127	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2657
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#127

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133213	C₂	semidirect
2. C₂²×#13133205	C₂	semidirect
3. C₂²×#13133204	C₂	semidirect
4. #20280822	C₂	direct (N × H)
5. C₂×#16810531	C₂	semidirect
6. C₂×#16810469	C₂	semidirect
7. C₂²×#127×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₂×#13133213	C₂²	semidirect
14. C₂×#13133205	C₂²	semidirect
16. C₂×#13133204	C₂²	semidirect
20. #16810531	C₂²	semidirect
21. #16810469	C₂²	semidirect
26. C₂×#127×C₅₃	C₂²	semidirect
47. C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	semidirect
61. C₂×C₄²×C₅₃	D₄	semidirect
101. C₄²×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
104. C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	semidirect
161. C₂²×#127	D₅₃	semidirect
168. C₂×C₅₃	#2657	semidirect
181. C₂×#127	C₂×D₅₃	semidirect
193. C₅₃	C₂×#2657	semidirect
226. C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	semidirect
270. C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	semidirect
327. C₂	#20280822	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133213	2
C₂²×#13133205	2
C₂²×#13133204	2
#20280822	2
C₂×#16810531	2
C₂×#16810469	2
C₂²×#127×C₅₃	2
C₂×#2657	53

Subgroups — C2×#20280822 #27551261

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20280822 #27551261