Subgroups — #27551370

Order 13568.

5346 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811134	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
2	#20280444	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20280439	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20280434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20280427	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#20277928	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#20277098	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂³×#41×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	#16811134	—	2	24	no	—
11	C₂×#13133200	C₂²	1	6	yes	—
12	C₂×#13133196	C₂²	1	6	yes	complemented
13	C₂×#13133191	C₂²	1	6	yes	complemented
14	C₂×#13133186	C₂²	1	6	yes	—
15	C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
16	C₂×#13133176	C₂²	1	3	yes	—
17	#16810542	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#16810537	C₂²	1	24	yes	complemented
19	#16810534	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#16810531	C₂²	1	24	yes	complemented
21	#16810486	C₂²	1	6	yes	—
22	#16810483	C₂²	1	12	yes	complemented
23	#16810479	C₂²	1	6	yes	—
24	C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂²×#41×C₅₃	—	2	24	no	—
26	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂²×#41×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂³×Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂³×D₄×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂⁴×C₄×C₅₃	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×#11719945	—	2	12	no	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133200	—	2	24	no	—
38	#13133196	—	2	24	no	—
39	#13133191	—	2	24	no	—
40	#13133186	—	2	24	no	—
41	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	48	no	—
42	#13133176	—	2	12	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
44	C₂×#11719919	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	24	yes	—
48	C₂×#11719921	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
50	#13133124	C₂³	1	24	yes	—
51	C₂⁵×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
52	C₂×#41×C₅₃	—	2	128	no	—
53	C₂×#41×C₅₃	—	2	48	no	—
54	C₂×#41×C₅₃	—	2	48	no	—
55	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	12	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
59	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
60	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
61	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	24	yes	complemented
62	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
64	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	12	no	—
67	C₂⁴×C₅₃	—	4	12	no	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
70	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
72	#41×C₅₃	—	2	128	no	—
73	#41×C₅₃	—	2	128	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	24	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	—	2	48	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	96	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	12	no	—
92	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	24	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	12	yes	—
94	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
95	#11719945	—	4	16	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	6	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	2	12	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	6	no	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
100	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	24	no	—
101	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	24	no	—
102	#11719921	—	2	24	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
104	#11719919	—	2	24	no	—
105	C₄×Dic₅₃	—	2	12	no	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	24	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
111	C₂³×C₅₃	—	4	24	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	48	no	—
113	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
115	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₅₃	—	2	6	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
118	Q₈×C₅₃	—	2	32	no	—
119	D₄×C₅₃	—	2	96	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	48	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	16	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
128	C₂²⋊D₅₃	—	4	48	no	—
129	C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	2	24	no	—
133	D₂₁₂	—	4	4	no	—
134	C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
135	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
136	#34632	—	53	1	no	maximal, Sylow
137	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	2	12	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	48	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	4	24	no	—
143	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	4	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	3	yes	—
145	C₂²×C₅₃	#585	1	4	yes	—
146	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
148	C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
149	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	4	yes	—
150	C₄×C₅₃	C₂×#120	1	4	yes	—
151	Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	Dic₅₃	—	4	12	no	—
153	C₂³×#41	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
154	C₂×#525	—	53	3	no	—
155	#2616	—	53	4	no	—
156	#2615	—	53	4	no	—
157	#2614	—	53	2	no	—
158	#2613	—	53	6	no	—
159	#2388	—	53	8	no	—
160	#2280	—	53	3	no	—
161	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₂×C₅₃	—	4	12	no	—
163	C₂×C₅₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	#3449	1	6	yes	—
165	D₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂²×#41	—	2	24	no	—
167	C₂²×#41	—	53	1	no	—
168	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
169	C₂²×#41	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
170	C₂³×Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂³×D₄	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
172	C₂⁴×C₄	C₂×D₅₃	1	3	yes	—
173	#525	—	106	24	no	—
174	C₂×#123	—	53	6	no	—
175	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	6	no	—
176	C₂×#121	—	53	6	no	—
177	C₂×#120	—	53	6	no	—
178	C₂×C₄×D₄	—	53	12	no	—
179	C₂×#117	—	53	3	no	—
180	#395	—	53	8	no	—
181	#394	—	53	24	no	—
182	#393	—	53	8	no	—
183	#392	—	53	24	no	—
184	#381	—	53	6	no	—
185	#380	—	53	12	no	—
186	#379	—	53	6	no	—
187	C₄×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
188	C₅₃	#34632	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
189	C₂⁵	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
190	C₂×#41	—	2	128	no	—
191	C₂×#41	—	2	48	no	—
192	C₂×#41	—	2	48	no	—
193	C₂×#41	—	106	12	no	—
194	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
195	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
196	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
197	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
198	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
199	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
200	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
201	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
202	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
203	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
204	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
205	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	24	yes	complemented
206	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
207	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
208	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
209	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#123	—	106	24	no	—
211	C₂²⋊Q₈	—	106	24	no	—
212	#121	—	106	24	no	—
213	#120	—	106	24	no	—
214	C₄×D₄	—	106	48	no	—
215	#117	—	106	12	no	—
216	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
217	C₂×C₄⋊C₄	—	53	12	no	—
218	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	6	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	24	no	—
222	C₂×C₄²	—	53	6	no	—
223	#95	—	53	24	no	—
224	C₂⁴	—	2	12	no	—
225	C₂⁴	—	4	12	no	—
226	C₂⁴	—	53	2	no	—
227	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
228	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
229	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#41	—	2	128	no	—
231	#41	—	2	128	no	—
232	#41	—	212	16	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
235	C₂×Q₈	—	106	6	no	—
236	C₂×D₄	—	2	96	no	—
237	C₂×D₄	—	2	48	no	—
238	C₂×D₄	—	2	24	no	—
239	C₂×D₄	—	106	24	no	—
240	C₂×D₄	—	106	12	no	—
241	C₂×D₄	—	106	6	no	—
242	C₂×D₄	—	212	24	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	96	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	106	12	no	—
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	24	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	24	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
258	C₄⋊C₄	—	106	24	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	106	12	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	212	24	no	—
263	C₄²	—	106	12	no	—
264	C₂³	—	2	4	no	—
265	C₂³	—	2	24	no	—
266	C₂³	—	2	12	no	—
267	C₂³	—	2	12	no	—
268	C₂³	—	2	12	no	—
269	C₂³	—	4	24	no	—
270	C₂³	—	4	48	no	—
271	C₂³	—	106	6	no	—
272	C₂³	—	106	8	no	—
273	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
274	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
275	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	Q₈	—	2	32	no	—
277	Q₈	—	212	4	no	—
278	D₄	—	2	96	no	—
279	D₄	—	212	48	no	—
280	D₄	—	212	8	no	—
281	D₄	—	212	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	24	no	—
283	C₂×C₄	—	2	12	no	—
284	C₂×C₄	—	2	48	no	—
285	C₂×C₄	—	2	48	no	—
286	C₂×C₄	—	106	12	no	—
287	C₂×C₄	—	106	6	no	—
288	C₂×C₄	—	106	24	no	—
289	C₂×C₄	—	212	8	no	—
290	C₂×C₄	#13133186	1	16	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	12	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	6	yes	—
294	C₂²	—	2	12	no	—
295	C₂²	—	2	12	no	—
296	C₂²	—	2	12	no	—
297	C₂²	—	2	12	no	—
298	C₂²	—	4	48	no	—
299	C₂²	—	4	24	no	—
300	C₂²	—	212	12	no	—
301	C₂²	—	212	2	no	—
302	C₂²	C₂×#13133186	1	4	yes	—
303	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅₃	1	3	yes	—
304	C₂²	#16811459	1	4	yes	—
305	C₄	—	2	12	no	—
306	C₄	—	212	12	no	—
307	C₄	—	212	2	no	—
308	C₄	C₂×#13133186	1	4	yes	—
309	C₄	C₂×#13133186	1	4	yes	—
310	C₂	—	2	4	no	—
311	C₂	—	4	12	no	—
312	C₂	—	424	2	no	—
313	C₂	C₂²×#13133186	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#20288044	1	6	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂³×#41×C₅₃	C₂
hypercenter	C₂³×#41	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34632
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×#41

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811134	C₂	semidirect
2. #20280444	C₂	semidirect
3. #20280439	C₂	semidirect
4. #20280434	C₂	semidirect
5. #20280427	C₂	semidirect
6. #20277928	C₂	semidirect
7. #20277098	C₂	semidirect
8. C₂³×#41×C₅₃	C₂	semidirect
12. C₂×#13133196	C₂²	semidirect
13. C₂×#13133191	C₂²	semidirect
15. C₂×C₄×C₂²⋊D₅₃	C₂²	semidirect
17. #16810542	C₂²	semidirect
18. #16810537	C₂²	semidirect
19. #16810534	C₂²	semidirect
20. #16810531	C₂²	semidirect
22. #16810483	C₂²	semidirect
24. C₄×C₂²⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
61. C₂³×C₄×C₅₃	D₄	semidirect
153. C₂³×#41	D₅₃	semidirect
188. C₅₃	#34632	semidirect
205. C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811134	2
#20280444	2
#20280439	2
#20280434	2
#20280427	2
#20277928	2
#20277098	2
C₂³×#41×C₅₃	2
#34632	53