Subgroups — #27551462

Order 13568.

3694 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811168	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	#20280824	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20280820	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20280819	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#20280817	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20277995	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20277993	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₂×#16810468	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719947	C₂²	1	4	yes	—
11	#16811168	—	2	48	no	—
12	C₂×#13133216	C₂²	1	6	yes	—
13	C₂×#13133213	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂×#13133203	C₂²	1	12	yes	—
15	C₂×#13133191	C₂²	1	6	yes	—
16	C₂×#13133189	C₂²	1	12	yes	—
17	C₂×D₄×Dic₅₃	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#13133179	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#13133177	C₂²	1	12	yes	—
20	C₂²×C₄×Dic₅₃	C₂²	1	3	yes	—
21	#16810560	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810559	C₂²	1	12	yes	—
23	#16810558	C₂²	1	12	yes	—
24	#16810533	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810532	C₂²	1	12	yes	—
26	#16810531	C₂²	1	12	yes	—
27	#16810468	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810468	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#13133124	C₂²	1	3	yes	—
30	C₂×#121×C₅₃	C₂²	1	6	yes	—
31	C₅₃×#399	C₂²	1	4	yes	—
32	C₅₃×#392	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#95×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#11719947	—	2	48	no	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	6	yes	—
37	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂²×C₂²⋊D₅₃	C₂³	1	12	yes	—
40	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	3	yes	—
42	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	#13133216	—	2	24	no	—
45	#13133213	—	2	24	no	—
46	#13133203	—	2	48	no	—
47	#13133191	—	2	24	no	—
48	#13133189	—	2	48	no	—
49	D₄×Dic₅₃	—	2	24	no	—
50	#13133179	—	2	24	no	—
51	#13133177	—	2	48	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂×#11719919	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂×#11719921	C₂³	1	12	yes	—
56	C₂×#11719921	C₂³	1	12	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	24	yes	complemented
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	6	yes	—
60	#13133124	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	3	yes	—
64	#121×C₅₃	—	2	24	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	12	yes	—
67	#95×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
69	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
70	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	2	24	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	2	12	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	4	12	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	6	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
78	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
79	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	24	no	—
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	12	no	—
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	12	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	24	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	4	3	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	4	3	no	—
86	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
87	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
89	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	6	yes	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	#11719947	—	4	64	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	12	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	4	12	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	24	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	24	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
98	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	24	no	—
99	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	24	no	—
100	#11719921	—	2	24	no	—
101	#11719921	—	2	24	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	12	no	—
103	#11719919	—	2	24	no	—
104	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
105	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	24	yes	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	2	3	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	2	12	no	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
112	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	2	12	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
116	D₄×C₅₃	—	4	24	no	—
117	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	12	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
122	C₂²⋊D₅₃	—	4	48	no	—
123	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
124	C₂²⋊D₅₃	—	4	16	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	2	6	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	12	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	12	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
130	C₂×Dic₅₃	#127	1	16	yes	—
131	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
132	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
133	C₂×Dic₅₃	C₂²×D₄	1	6	yes	—
134	D₂₁₂	—	4	24	no	—
135	C₄×D₅₃	—	4	16	no	—
136	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
137	#34641	—	53	1	no	maximal, Sylow
138	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	2	6	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
142	C₂²×C₅₃	—	4	12	no	—
143	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	4	yes	—
144	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	3	yes	—
145	C₂²×C₅₃	#585	1	3	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#585	1	1	yes	characteristic
147	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	12	no	—
150	C₄×C₅₃	—	2	12	no	—
151	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
152	Dic₅₃	—	2	12	no	—
153	Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	Dic₅₃	C₂×#127	1	4	yes	—
155	Dic₅₃	C₂×#127	1	4	yes	—
156	C₂×#532	—	53	6	no	—
157	#2658	—	53	4	no	—
158	#2657	—	53	4	no	—
159	#2656	—	53	1	no	—
160	#2656	—	53	6	no	—
161	#2656	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
162	#2397	—	53	4	no	—
163	#2397	—	53	4	no	—
164	C₂×#376	—	53	1	no	—
165	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
167	C₂×C₅₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#3449	1	3	yes	—
169	C₂×C₅₃	#3449	1	3	yes	—
170	D₅₃	—	8	4	no	—
171	C₂²×#41	—	53	4	no	—
172	#532	—	106	48	no	—
173	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	6	no	—
174	C₂×#127	—	53	6	no	—
175	C₂×#124	—	53	12	no	—
176	C₂×#121	—	53	12	no	—
177	C₂×#121	—	53	6	no	—
178	C₂×#121	C₂×D₅₃	1	6	yes	—
179	C₂×C₄×D₄	—	53	6	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	53	6	no	—
181	C₂×C₄×D₄	—	53	12	no	—
182	C₂²×C₄²	—	53	3	no	—
183	#399	—	53	12	no	—
184	#399	—	53	12	no	—
185	#399	—	53	4	no	—
186	#399	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
187	#392	—	53	12	no	—
188	#392	—	53	12	no	—
189	#392	—	53	4	no	—
190	#392	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
191	#376	—	53	4	no	—
192	#376	—	53	4	no	—
193	C₂×#95	—	53	3	no	—
194	C₂×#95	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	C₅₃	#34641	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
196	C₂×#41	—	106	48	no	—
197	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
198	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
199	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
200	C₂²×D₄	—	53	12	no	—
201	C₂²×D₄	—	53	6	no	—
202	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
203	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
204	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
205	C₂³×C₄	—	53	3	no	—
206	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
207	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
208	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	3	yes	—
209	C₄⋊Q₈	—	106	24	no	—
210	#127	—	106	24	no	—
211	#124	—	106	48	no	—
212	#121	—	2	24	no	—
213	#121	—	106	48	no	—
214	#121	—	106	24	no	—
215	C₄×D₄	—	106	48	no	—
216	C₄×D₄	—	106	24	no	—
217	C₄×D₄	—	106	24	no	—
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	12	no	—
219	C₂×C₄⋊C₄	—	53	6	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	6	yes	—
221	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
222	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
223	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	12	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	12	yes	—
225	C₂×C₄²	—	53	24	no	—
226	C₂×C₄²	—	53	6	no	—
227	C₂×C₄²	—	53	6	no	—
228	#95	—	53	12	no	—
229	#95	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
230	C₂⁴	—	53	4	no	—
231	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
232	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#41	—	212	64	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	24	no	—
235	C₂×D₄	—	2	24	no	—
236	C₂×D₄	—	2	12	no	—
237	C₂×D₄	—	4	12	no	—
238	C₂×D₄	—	106	24	no	—
239	C₂×D₄	—	106	24	no	—
240	C₂×D₄	—	106	24	no	—
241	C₂×D₄	—	106	12	no	—
242	C₂×D₄	—	212	12	no	—
243	C₂×D₄	—	212	12	no	—
244	C₂×D₄	—	212	12	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
246	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
247	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
249	C₂²×C₄	—	53	6	no	—
250	C₂²×C₄	—	53	12	no	—
251	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
253	C₂²×C₄	—	106	24	no	—
254	C₂²×C₄	—	212	3	no	—
255	C₂²×C₄	—	212	3	no	—
256	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	12	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	6	yes	—
259	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	24	no	—
261	C₄⋊C₄	—	106	12	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	106	24	no	—
266	C₄²	—	53	24	no	—
267	C₄²	—	53	24	no	—
268	C₂³	—	2	3	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	12	no	—
271	C₂³	—	2	12	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	106	12	no	—
274	C₂³	—	106	12	no	—
275	C₂³	—	106	4	no	—
276	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	6	yes	—
277	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	Q₈	—	212	16	no	—
279	D₄	—	4	24	no	—
280	D₄	—	4	16	no	—
281	D₄	—	212	24	no	—
282	D₄	—	212	16	no	—
283	D₄	—	212	48	no	—
284	D₄	—	212	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	12	no	—
286	C₂×C₄	—	2	12	no	—
287	C₂×C₄	—	4	12	no	—
288	C₂×C₄	—	53	16	no	—
289	C₂×C₄	—	53	6	no	—
290	C₂×C₄	—	53	6	no	—
291	C₂×C₄	—	53	12	no	—
292	C₂×C₄	—	106	6	no	—
293	C₂×C₄	—	106	6	no	—
294	C₂×C₄	—	106	12	no	—
295	C₂×C₄	—	212	16	no	—
296	C₂×C₄	—	212	16	no	—
297	C₂×C₄	—	212	12	no	—
298	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	12	yes	—
299	C₂²	—	2	6	no	—
300	C₂²	—	2	6	no	—
301	C₂²	—	4	12	no	—
302	C₂²	—	4	12	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	212	12	no	—
305	C₂²	—	212	12	no	—
306	C₂²	—	212	4	no	—
307	C₂²	#127×D₅₃	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	3	yes	—
309	C₂²	#16811458	1	3	yes	—
310	C₂²	#16811460	1	1	yes	characteristic
311	C₄	—	2	12	no	—
312	C₄	—	4	4	no	—
313	C₄	—	53	4	no	—
314	C₄	—	53	4	no	—
315	C₄	—	106	12	no	—
316	C₄	—	212	4	no	—
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	—	8	4	no	—
319	C₂	—	424	4	no	—
320	C₂	C₂×#127×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#20288041	1	3	yes	—
322	C₂	#20288043	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Fitting	C₅₃×#2656	C₂
hypercenter	#2656	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#34641
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #2656

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16811168	C₂	semidirect
2. #20280824	C₂	semidirect
3. #20280820	C₂	semidirect
4. #20280819	C₂	semidirect
5. #20280817	C₂	semidirect
6. #20277995	C₂	semidirect
7. #20277993	C₂	semidirect
8. C₂×#16810468	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2656	C₂	semidirect
57. C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	semidirect
161. #2656	D₅₃	semidirect
195. C₅₃	#34641	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811168	2
#20280824	2
#20280820	2
#20280819	2
#20280817	2
#20277995	2
#20277993	2
C₂×#16810468	2
C₅₃×#2656	2
#34641	53