Subgroups — C₂×#20279631 #27555832

Order 13568.

4782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20279631	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#16810540	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16810480	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₅₃×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂³×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×C₄×D₅₃	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133192	—	2	32	no	—
11	C₂×#13133192	C₂²	1	32	yes	complemented
12	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	16	no	—
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	16	yes	complemented
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#11719921	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂²×#11719921	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810540	C₂²	1	32	yes	complemented
18	#16810480	C₂²	1	32	yes	complemented
19	C₂×#13133124	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#384	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂⁴×D₅₃	C₂³	1	4	yes	—
25	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
26	C₂²×D₂₁₂	—	2	8	no	—
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	32	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	4	8	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	16	yes	complemented
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	16	yes	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	8	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
34	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
35	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	16	no	—
36	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	16	yes	—
37	#13133192	—	2	128	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	2	64	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	8	yes	—
41	C₂×#11719921	—	2	32	no	—
42	C₂×#11719921	—	2	16	no	—
43	C₂×#11719921	C₂³	1	16	yes	—
44	C₂×#11719921	C₂³	1	32	yes	—
45	#13133124	C₂³	1	16	yes	—
46	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	16	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
54	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
57	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
58	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
59	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂³×D₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	—
63	C₂³×D₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	8	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	4	yes	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
78	C₂²×Dic₅₃	C₂⁴	1	8	yes	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	16	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	64	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	16	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	64	no	—
85	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	32	yes	complemented
86	C₂×C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
87	C₂×C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	32	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	4	64	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	32	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
92	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
93	#11719921	—	2	64	no	—
94	#11719921	—	2	32	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
96	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	4	yes	—
99	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
100	C₂³×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
101	C₂³×C₅₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	2	32	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	2	8	no	—
111	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
112	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₅₃	C₂²×D₄	1	16	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	16	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	32	yes	complemented
123	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	8	yes	—
127	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
131	D₂₁₂	—	2	64	no	—
132	D₂₁₂	—	4	64	no	—
133	C₄×D₅₃	—	4	64	no	—
134	C₂×#2537	—	53	1	no	maximal, Sylow
135	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	8	yes	—
136	C₂²×C₅₃	#537	1	4	yes	—
137	C₂²×C₅₃	D₄²	1	4	yes	—
138	C₂²×C₅₃	#547	1	8	yes	—
139	C₂²×C₅₃	#555	1	4	yes	—
140	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₅₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂²×#41	1	2	yes	—
143	C₂²×C₅₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
146	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
147	C₂×D₅₃	—	2	16	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
149	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
150	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
151	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
152	C₂×D₅₃	—	4	64	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
154	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
155	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	16	yes	complemented
156	Dic₅₃	—	4	8	no	—
157	C₂²×#121	—	53	4	no	—
158	C₂²×C₄×D₄	—	53	2	no	—
159	#2537	—	53	16	no	—
160	C₂×#394	—	53	4	no	—
161	C₂×#384	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
162	C₂×#380	—	53	4	no	—
163	C₂×C₅₃	#2537	1	8	yes	complemented
164	C₂×C₅₃	C₂²×#121	1	2	yes	—
165	C₂×C₅₃	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₅₃	C₂×#547	1	2	yes	—
168	C₂×C₅₃	C₂×#555	1	1	yes	characteristic
169	D₅₃	—	4	16	no	—
170	C₂³×D₄	—	53	2	no	—
171	C₂³×D₄	—	53	4	no	—
172	C₂⁴×C₄	—	53	4	no	—
173	C₂×#121	—	53	32	no	—
174	C₂×#121	—	106	32	no	—
175	C₂×C₄×D₄	—	53	16	no	—
176	C₂×C₄×D₄	—	106	16	no	—
177	C₂²×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
178	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
179	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	4	no	—
181	C₂²×C₂²⋊C₄	—	53	8	no	—
182	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	#394	—	53	32	no	—
184	#384	C₂×D₅₃	1	8	yes	complemented
185	#380	—	53	32	no	—
186	C₂×#95	—	53	4	no	—
187	C₅₃	C₂×#2537	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
188	C₂⁵	—	53	4	no	—
189	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
190	C₂²×D₄	—	53	8	no	—
191	C₂²×D₄	—	53	16	no	—
192	C₂²×D₄	—	106	32	no	—
193	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
194	C₂²×D₄	—	106	8	no	—
195	C₂²×D₄	—	212	8	no	—
196	C₂³×C₄	—	53	4	no	—
197	C₂³×C₄	—	53	16	no	—
198	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
199	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
200	C₂³×C₄	—	106	16	no	—
201	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
204	#121	—	106	128	no	—
205	C₄×D₄	—	106	64	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	16	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	8	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	16	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	32	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	16	no	—
216	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
217	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
218	#95	—	53	16	no	—
219	C₂⁴	—	53	16	no	—
220	C₂⁴	—	53	8	no	—
221	C₂⁴	—	106	8	no	—
222	C₂⁴	—	106	8	no	—
223	C₂⁴	—	106	8	no	—
224	C₂⁴	—	106	8	no	—
225	C₂⁴	—	106	8	no	—
226	C₂⁴	—	106	8	no	—
227	C₂⁴	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×D₄	—	53	32	no	—
229	C₂×D₄	—	106	64	no	—
230	C₂×D₄	—	106	64	no	—
231	C₂×D₄	—	106	16	no	—
232	C₂×D₄	—	106	16	no	—
233	C₂×D₄	—	212	16	no	—
234	C₂×D₄	—	212	64	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	53	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	32	no	—
246	C₂²×C₄	—	212	64	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
249	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	#11719949	1	8	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	106	64	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	106	32	no	—
259	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	16	yes	complemented
260	C₂³	—	53	16	no	—
261	C₂³	—	106	32	no	—
262	C₂³	—	106	32	no	—
263	C₂³	—	106	8	no	—
264	C₂³	—	106	8	no	—
265	C₂³	—	106	8	no	—
266	C₂³	—	106	8	no	—
267	C₂³	—	106	8	no	—
268	C₂³	—	106	8	no	—
269	C₂³	—	106	32	no	—
270	C₂³	—	212	16	no	—
271	C₂³	—	212	16	no	—
272	C₂³	—	212	16	no	—
273	C₂³	—	212	16	no	—
274	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂×#11719949	1	4	yes	—
277	C₂³	#13133262	1	2	yes	—
278	C₂³	#13133265	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂⁴×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	D₄	—	106	64	no	—
281	D₄	—	212	64	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	16	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	16	no	—
288	C₂×C₄	—	106	8	no	—
289	C₂×C₄	—	106	8	no	—
290	C₂×C₄	—	106	8	no	—
291	C₂×C₄	—	212	16	no	—
292	C₂×C₄	—	212	64	no	—
293	C₂×C₄	#13133192	1	32	yes	complemented
294	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	8	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	8	yes	—
298	C₂²	—	106	16	no	—
299	C₂²	—	106	16	no	—
300	C₂²	—	106	16	no	—
301	C₂²	—	212	8	no	—
302	C₂²	—	212	8	no	—
303	C₂²	—	212	64	no	—
304	C₂²	—	212	8	no	—
305	C₂²	—	212	8	no	—
306	C₂²	C₂×#13133192	1	8	yes	—
307	C₂²	#16811204	1	4	yes	—
308	C₂²	#16811258	1	4	yes	—
309	C₂²	#16811276	1	8	yes	—
310	C₂²	#16811339	1	4	yes	—
311	C₂²	C₂²×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂²	C₂³×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂²×#11719949	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#13133262	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#13133265	1	1	yes	characteristic
316	C₄	—	2	4	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	—	212	8	no	—
319	C₄	C₂×#13133192	1	16	yes	complemented
320	C₂	—	212	16	no	—
321	C₂	#20279631	1	8	yes	direct product factor
322	C₂	C₂²×#13133192	1	2	yes	—
323	C₂	C₂×#16811204	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂×#16811258	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#16811276	1	2	yes	—
326	C₂	C₂×#16811339	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₅₃
commutator, cosocle	C₂³×C₅₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#384	C₂
socle	C₂⁴×C₅₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#384	D₅₃
hypocenter	C₅₃	C₂×#2537
LCS	G ▷ C₂³×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#384

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#13133192	C₂	semidirect
2. C₂²×C₄×D₂₁₂	C₂	semidirect
3. #20279631	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#16810540	C₂	semidirect
5. C₂×#16810480	C₂	semidirect
6. C₂×C₅₃×#384	C₂	semidirect
11. C₂×#13133192	C₂²	semidirect
13. C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	semidirect
17. #16810540	C₂²	semidirect
18. #16810480	C₂²	semidirect
23. C₅₃×#384	C₂²	semidirect
29. C₂²×D₂₁₂	D₄	semidirect
53. C₂×C₄²×C₅₃	D₄	semidirect
85. C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	semidirect
92. C₄²×C₅₃	C₂×D₄	semidirect
122. C₂×C₄×C₅₃	#121	semidirect
155. C₄×C₅₃	C₂×#121	semidirect
161. C₂×#384	D₅₃	semidirect
163. C₂×C₅₃	#2537	semidirect
184. #384	C₂×D₅₃	semidirect
187. C₅₃	C₂×#2537	semidirect
216. C₂×C₄²	D₂₁₂	semidirect
259. C₄²	C₂×D₂₁₂	semidirect
293. C₂×C₄	#13133192	semidirect
319. C₄	C₂×#13133192	semidirect
321. C₂	#20279631	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133192	2
C₂²×C₄×D₂₁₂	2
#20279631	2
C₂×#16810540	2
C₂×#16810480	2
C₂×C₅₃×#384	2
C₂×#2537	53

Subgroups — C2×#20279631 #27555832

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#20279631 #27555832